关于抛物线的一个性质及其应用
2015-07-21张俊
新高考·高二数学 2015年6期
张俊
性质过抛物线y?=2px的对称轴上一定点(a,O)的直线与此抛物线相交于两点,则这两点的纵坐标之积为定值-2pa。
在处理抛物线问题时灵活运用这一性质效果奇佳,我们一起来看一看。
一、证明三点共线
例1 如图1,过抛物线y?=4x交点F的直线与抛物线交于A,B两点,过点B作x轴的平行线BC与抛物线的准线相交于点C,证明:A,0,C三点共线.
说明 可以证明更一般的结论:过点M(m,0)的直线AB与抛物线y?=2px(p>0)交于A,B两点,过点B作x轴的平行线BC与直线l:x=-m相交于点C,则A,0,C三点共线.
二、证明直线的斜率为定值
例2 过抛物线y?=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率为定值。
三、证明直线过定点
例3 过抛物线y?=2px的顶点O作相互垂直的弦OA,OB,与抛物线相交于另两点A,B,证明直线AB过定点。
四、证明直线斜率的比值为定值
说明在例4条件不变的前提下,可以证明直线CD经过定点。