巧用轨迹，轻松解题

鲁倩

纵观近几年高考试卷中的解析几何题目，其涉及面广、综合性强、背景新颖、灵活多样，解题策略较多，渗透着多种数学思想和方法。其中轨迹法是解决解析几何问题一种重要的方法，巧妙地利用轨迹法，可以有效地避开解析几何中繁琐的计算问题。我们经常用到的轨迹有直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线，本文就针对具体案例谈一下常用轨迹在解题中的巧妙应用。

一、挖掘隐性轨迹——直线

所以点P到原点的距离转化为原点到直线3x+4y-11—O距离，此时求得点P到坐标原点的距离的最小值为11/5。

本解法主要由条件PE=PD出发挖掘点P的隐性轨迹——直线，巧妙地将点P到坐标原点的距离转化为坐标原点到直线的距离，问题易于解决。

二、挖掘隐性轨迹——圆

本题由条件MA=2MO去挖掘点M的轨迹为圆，这也是同学们比较熟悉的阿波罗尼斯圆，从而将本题巧妙地转化为两圆的位置关系，避开繁琐计算，问题易于解决。

三、挖掘隐性轨迹——椭圆

四、挖掘隐性轨迹——双曲线

以上两题利用数形结合的数学思想，巧妙地利用轨迹解决问题，但同学们要考虑全面，相应的点的轨迹可能不是完整的圆锥曲线，而是圆锥曲线的一部分，要注意等价转化。

五、挖掘隐性轨迹——抛物线

本题的解法比较新颖，用几何方法解决代数问题，渗透着数形结合的数学思想，但也要注意等价转化，点M的轨迹为抛物线的一部分，转化为直线与抛物线的位置关系，问题易于解决。

以上案例，同学们可以体会到轨迹法给解题带来的方便性，所以对于一些问题，巧妙地利用条件，挖掘其中的隐性轨迹，问题会迎刃而解。