量子力学中库仑势场问题的课堂教学设计

孙运斌

（内蒙古科技大学包头师范学院物理科学与技术学院内蒙古包头014030）

量子力学中库仑势场问题的课堂教学设计

孙运斌

（内蒙古科技大学包头师范学院物理科学与技术学院内蒙古包头014030）

本文对量子力学库仑势场问题求解过程进行了汇总，将数理方法中相关方程求解过程整合进入库仑势场问题求解过程，并对与求解物理问题关联性较小的环节进行精简，保留与具体物理问题求解关系较为紧密的部分并进行深入讨论。论文对于增进学生对该问题求解过程中物理量间关联的理解、提升课堂教学效果具有较为重要的意义。

库仑势场问题是量子力学课程中重要的教学内容，也是教学难点之一。[1,2]由于该问题求解过程涉及到的数学问题较为繁杂，实际教学过程中一般将求解过程提前在数学物理方法中进行，在量子力学课程中直接引用数理方法中给出的结论。[3]这一教学方式优点在于极大地提高量子力学教学的效率，加快课程进度；而其缺点在于数理方法在实际教学过程中一般前置于量子力学课程，因而在学生学习相关方程求解求解过程时并不能很好地理解各个参数的物理意义，因而对于各个物理参数的依赖关系尤其是主量子数、角量子数与磁量子数间的取值依赖关系难以形成直观的认识。为解决这一问题，本文对库仑势场问题求解过程进行精炼，将整个求解过程压缩

至可接受的教学课时量，并尽可能保留与实际问题关联紧密的过程，以期提升该章节的课堂教学效果。

一、极坐标库仑势场问题及分离变量

在球极坐标体系下，库仑势场的薛定谔方程为：

其解应为r,θ和φ的共同函数Ψ(r,θ,φ)，如这一函数可以描述为r的函数即径向函数R(r )与θ,φ的共同函数Y(θ,φ)乘积的形式，即方程可分离变量为：

二、函数的求解

1. Γ()φ函数的求解

很显然（5）式的解为：

2. Χ(θ)函数的求解

此方程称为连带勒让德方程，其中当m=0时，称为勒让德方程。一般求解过程是先求解较为简单的勒让德方程，再求解复杂的连带勒让德方程。在本问题中，为体现角动量平方与角动量z分量的关联，我们直接求解连带勒让德方程，勒让德方程的解可以将m=0代入结果中给出，为实现对这一方程的求解，我们需对Χ函数进行如下代换：

代入上式并整理同幂次项得：

进一步简化为：

幂级数求和等于零，要求各个幂次的系数进行求和后均为零，因而不难看出由Κ(x)展开的级数幂次系数应满足如下关系：

由级数的收敛判据可以判断，该级数收敛半径为1，且在收敛半径上不收敛。而其变量x的取值范围为，很明显，在x=1即时，函数不收敛，因而，要获得满足有限性条件的函数，必须另此级数在某一项以后均为零，使级数截断为多项式，相关的讨论我们在处理一维线性谐振子问题时已经进行过讨论，即使所有奇次幂项系数均为零，偶次幂项从某一项开始更高幂次系数为零；或所有偶次幂项系数均为零，奇次幂项从某一

项开始更高幂次系数为零。由上式可以看出，另υ+2次幂项系数Cυ+2为零的条件为：

即

其中υ为奇数展开的幂次，只能为0或正整数，而m为磁量子数，只能为整数，因此λ的取值只能取ħ 2乘以某一整数乘以这一整数加1的倍数这一形式，我们将这一整数称为角量子数，即为l，则有：

当确定了λ或角量子数l的取值后，Κ(x)函数的形式即可得以确定，即一个最高幂次为l，且仅包含奇次幂或偶次幂的求和多项式。该多项式的计算方法十分简便，对于一个角量子数l与磁量子数m已给定的状态。我们可以假设最低幂次即0次幂项或1次幂项系数为1，利用Cυ+2与Cυ间的递推关系逐项进行递推，直到递推到l次幂项系数即最后一项非零项的系数为止。再将Κ(x)函数乘以(1-x2)m2即可得Χ(x )函数，将变量x替换回cos(θ)可得Χ(θ)函数，在于关于φ的函数乘积并进行归一化，即可得算符的本征函数Ylm(θ,φ)，其中下标lm代表这一函数的形式取决于角量子数与磁量子数，由数学物理方法中已学习到，这一函数称为球谐函数。球谐函数既是角动量平方算符与角动量z分量算符的共同本征函数，也是库仑势场问题波函数的角度部分。

关于角量子数l，有两点需要注意：

第一点：将l与-l-1代入方程所得结果完全相同，即l可以作为一个负

第二点：当l取一正整数值时，由于幂次υ仅能取0或正整数，m取值应小于或等于l，否则无法获得满足有限性的解，即必须有m≤l；当m为负值时，函数有有限解的条件并为约束m绝对值的取值，但从物理量关系角度来看，当m绝对值大于l，即时，必有m2＞l(l+1)，因而会出现角动量z分量平方大于角动量平方的情况，而角动量x分量和y分量的平方只能为0或正数，因而从物理量关系角度而言，磁量子数m的绝对值绝不能大于角量子数l。

3. 即径向函数R(r)的求解

对于径向函数的求解，一般量子力学教材进行了较为完整的推导与证明，在此仅对针对角量子数l与主量子数n间联系的部分进行重点讨论，对于（2）式所示的径向方程，当进行以下常量、变量及函数的代换，

注意当ρ→0时，如果如果u(r )函数不比1r函数更快地趋向于0的话将会导致R(r)在r=0位置处取值为无限大，因而当ρ→0时，u(r)函数必须趋向于0。利用波函数有限条件，可以得到在ρ→∞与ρ→0时，方程的趋近解分别为：

这里注意到，角量子数l，此时是作为ρ→0时函数的幂指数出现的，当然我们可以将l取为负值并将ρ→0时函数的趋近行为描述为：

但很明显，这一描述并不会改变问题的本质，即与量子数l相联系的现象为：

院

[1]量子力学教程(第二版)周世勋陈灏北京：高等教育出版社2009

[2]量子力学教程曾瑾言北京：科学出版社2003

[3]数学物理方法乔文华张占山赵建军呼和浩特：内蒙古大学出版社2007

孙运斌男博士讲师1984年4月出生

院