基于相图分割的Duffing混沌系统状态判定方法

高振斌，孙月明，李景春

（1.河北工业大学电子信息工程学院，天津 300401；2.国家无线电监测中心，北京 100037）

基于相图分割的Duffing混沌系统状态判定方法

高振斌1，孙月明1，李景春2

（1.河北工业大学电子信息工程学院，天津 300401；2.国家无线电监测中心，北京 100037）

判别Duffing混沌系统所处的状态是采用Duffing混沌振子进行微弱周期信号检测的关键问题．本文针对系统在混沌和大周期两种状态相图的明显区别，提出了一种基于相图分割的系统状态判定方法．该方法首先在相图中做一简单闭合区域，进而通过统计相轨迹点处于区域外的数量来识别系统的状态．给出了实现该方法的主要步骤，并从微弱信号检测成功率和运算复杂度的角度进行了分析．实验结果表明该方法可用于30dB信噪比下弱正弦信号的检测，并且硬件实现简单．

微弱信号检测；混沌；Duffing振子；相图分割；信噪比

0 引言

由于混沌系统具有对微弱信号敏感而对噪声免疫的特性，它在微弱信号检测领域得到了广泛的关注，开辟了新的应用空间．自1992年BrownR等人[1]首次提出了运用Duffing振子对初值敏感这一特性设计传感器的方法以来，混沌理论不断得到改进和发展．1997年，王冠宇等人[2-3]研究了Duffing振子在微弱信号检测方面的应用，实现已知频率下信号幅度的测量，并把可以检测的信噪比范围延伸到为26dB，对这一领域的发展起到了推动作用．之后，哈尔滨工业大学的聂春燕[4]又对Duffing振子阵列扫描的方法进行了研究，以此测量微弱正弦信号的幅值、相位、频率等参数，获得较好的效果．

由此可知，Duffing混沌系统在微弱信号检测中领域具有很大优势，提供了与传统检测方法不同的检测途径．实际应用中，混沌系统状态的准确判定是Duffing振子成功用于微弱信号检测的关键．传统的时序图法不利于计算机自动处理，而Lyapunov指数法又易于受到噪声的影响．本文利用Duffing振子系统在状态变化前后相轨迹的明显差别，提出了一种基于相图分割的微弱信号检测方法，并通过计算说明其可行性．

1 信号检测与状态判别原理

1.1 Duffing振子信号检测原理

根据已有的研究成果，本文采用和文献[5]相同的Duffing振子检测系统模型[5]

其中：k是阻尼比；χt+χ3t是非线性恢复力；cos0t是周期性策动力；χit为待测信号．

由混沌理论可知，没有待测信号χit时（χit=0），在k固定的情况下，从0逐渐增大的过程中，方程的解所形成的相空间轨迹会依次表现为同宿轨道、倍周期分岔轨道和混沌状态[4]．且当增大到由混沌转向大周期的临界值d时，轨迹会突然发生变化，从混沌状态转向大周期状态，如图1所示．

依据这个特点，可以得到使用混沌系统检测微弱正弦信号的原理：如果把系统的策动力的幅值设为略小于临界值d，使混沌系统处于临界状态．然后将待测信号χit输入系统，如果系统的相轨迹从混沌状态变为大尺度周期状态，就说明待测信号中包含有与内策动力信号频率相同的正弦信号．

基于这一原理检测微弱正弦信号时，需要解决的关键问题是如何区分系统是处于混沌状态还是大周期状态．由于待测信号中存在噪声，相图中的轨迹曲线变得模糊．直接观察系统相轨迹图判别系统状态的传统方式，虽然简洁直观，但不宜于在计算机上或电路上实现自动判断．时序图法可通过示波器一次输出多个信号状态，而混沌状态和大周期状态所对应的时序波形不同，比较即可区分，效率确实得到了提高，但由于系统在临界状态下时序波形多样，难以分辨，检测效果仍不理想．相对而言准确性高的Lyapunov指数法经过数值计算，以定量指标作为标准，分析轨迹趋势，判断运动状态，但原理与计算方法都较为复杂，并且受噪声影响较大．针对这一问题，本文采用相图分割的方法判别系统状态，以实现微弱信号检测目的．

1.2 基于相图分割的系统状态判别方法

由于Duffing振子系统在混沌状态和大周期状态时系统相图截然不同，如果在其相对规则的环状轨道内设置一个尽可能大的封闭区域，那么大周期状态下轨迹点主要集中在区域外，混沌状态下部分轨迹点落在区域内．通过统计相轨迹点处于区域外的数量，就可以判定相系统的状态．

注意到Duffing振子的相图特征，相图分割法的基本思路是：在Duffing振子的二维相图中做出一封闭区域，把相轨迹图中所有点分为域内点和域外点2部分，域外点占总轨迹点数的比例越大，说明系统越接近大周期状态．具体实现步骤为：1）在Duffing振子的规则环状轨道内建立一尽可能大的不与该轨道相交的封闭区域，并且边界线方程要取的尽量简单些．2）统计相轨迹在区域内和区域外的点，并求出区域外的点数No占总点数Nt的比值Nr=No/Nt．3）对输出结果的解释是：比值足够大，说明点主要集中在区域外，符合大周期状态特点，判定输入中存在正弦信号．

根据实现步骤，本文选择方形区域这种非常容易实现的方式，即方域分割，边界线如图2所示，边界线方程为

图1 混沌状态和大周期状态Fig.1 Thechaoticstateandperiodicstatus

式中：R为方形区域的边长，其选取应满足不与环形轨迹相交并且要使得方形区域尽可能大．

2 信号检测的可行性与可实现性分析

2.1 可行性实验研究

由于Duffing方程为非线性方程,它不存在解析解,故只能依靠计算机数值计算来求出它的解．计算中采用定步长四阶龙格-库塔方法对Duffing方程进行求解．

根据混沌系统信号检测理论，当周期策动力的频率与待测信号中正弦信号的频率相同，即0=20时，系统由混沌状态转为大周期状态，此时，区域外的点数No占总点数Nt的比值Nr取最大值．

图2 方域分割示意图Fig.2 Thedomainsegmentationdiagram

不同信噪比下计算的结果如图3所示．图中横坐标为信号搜索使用的系统周期策动力角频率0，纵坐标为该频率下相轨迹中方域外的点占总的相轨迹点数的比值Nr．图3a）、图3b）给出了信噪比为10dB和20 dB的条件下的结果．可以看出，比值Nr最大时对应的0与待测信号中正弦信号频率相同，符合理论预测；图3c）、图3d）都是信噪比为30dB时得到的计算结果，但图3c）所示跟理论预测相符，能检测到信号，图3d）所示不符合理论预测，检测失败．

图3 单次搜索时轨迹图中方域外轨迹点所占比例Fig.3 Thepercentageofthepointsthatoutsidethesquareareainasinglesearch

这是因为在仿真计算过程中，噪声是随机产生的．由于噪声的随机性，相同信噪比条件下的噪声信号也会有所不同，单次检测结果出现偶然性．为了使检测结果正确可靠，在同一信噪比下重复上述过程，进行多次实验，再统计各个搜索频率下得到最大Nr的次数Pi，

Pi=第i频率下Nri大于其他各频率下Nr的次数/总试验次数

Pi即判定输入中有该频率正弦信号的概率．如果某一频率下的概率值Pi明显大于其他频率点，则可以认为输入中有该频率的正弦信号，具体方法如下．

取实验次数为500，方域分割检测微弱信号的实现步骤为：

1）根据设定的参数，依次选取0dB到37dB信噪比的待测信号输入到检测系统，统计方域内、外点数，得到0=15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25的11个频率点下，相应相轨迹图中方域外的轨迹点占总轨迹点数的比值Nri．

2）求取Nri最大值对应的0．将该频率点得到最大Nri的次数Ci加1．

3）重复上述过程500次，求各频点下得到最大百分比的次数Ci，除以总实验次数500，得到被判定输入中包含该频率正弦信号的概率Pi．

图4 不同信噪比下信号检测结果Fig.4 Thesignaldetectionresultunderdifferentsignal-to-noiseratio

表1 方域分割法不同信噪比下的信号检测结果Fig.1 The signal detection resultsunder differentsignal-to-noise ratio

由表1可以看出，在信噪比取值为0dB，10dB，20dB时，Nri最大值对应的0全部与待检信号频率i相同，即单次检测成功的概率为100%，说明信噪比较高的情况下方域分割法的检测性能很好．降低待测信号信噪比至27dB，虽然Nri最大值对应频率0i的次数不为0，但其仅为总次数的1.8%，但检测效力依然较高．进一步降低信噪比至30dB，从图4c）中可以看到0i时Pi较之前波动的幅度增大，最大达到了5.52%．当信噪比降为37dB时，0=15，16，……，25各频率点对应的Pi分别为12.4%，12.4%，10.4%，7%，6.4%，25.4%，5.8%，6.8%，5.8%，3.2%，4.4%，但在0=i时Pi=25.4%，大于其他频率下Pi的取值，而且区别比较明显，可以认为输入中含有该频率的正弦信号．因此，方域分割法能用于信噪比大于30dB时信号检测．在信噪比更低时，检测性能逐渐变差，但通过多次检验仍可以推断出输入中可能含有某频率分量的信号．

2.2 可实现性分析

在使用数字电路实现基于混沌振子的信号检测系统中，为了节省资源，一般使用归一化定点数进行运算．为了统计方域外的轨迹点数，需要把轨迹点坐标（x,y）中x和y的值与阈值进行比较，x、y中任何一个大于阈值则说明此轨迹点在方域外．对方域外轨迹点的个数进行记数即可判定系统状态．方域分割的实现结构如图5．

判别流程具体为：

1）将算法实现过程中求解所得到的轨迹点的坐标（x,y）分别与设定的阈值进行比较，当x,y的绝对值大于阈值时，比较器输出为'1'．

图5 方域分割实现框图Fig.5 Blockdiagramofthesquaredomainsegmentation

2）两个比较器的输出经过或门给到计数器A的计数使能端，当使能端为'1'时计数器A计数．

3）计数器A记录方域为轨迹点的个数，计数器B记录所有轨迹点的个数．

4）计数得到的值通过除法器，得到的即为方域外点所占百分比．

需要说明的是，在使用定点数运算时可以简化比较器电路，只对部分有效位进行比较．比如可以只比较整数部分是否大于1，或只判断其中某一位为'1'即可．另外，在每次循环计算的输入数据个数一定时，计数器B可以省略，而且也不需要再进行除法运算．因此，方域分割法判定系统混沌状态的实现电路较为简单．

3 结束语

本文根据Duffing振子混沌系统在混沌状态和大周期状态下相轨迹的明显差别，提出了基于相图分割的微弱正弦信号检测方法．在输入信噪比优于20dB时，通过一次检测即可判定输入信号的频率，检测效果良好．在输入信噪比更低时，可通过多次检测求概率的方法判定输入中含有某频率成分的信号．从硬件实现的角度来看，方域分割法判定系统状态仅需要比较器、计数器和除法器，且比较器可简化，除法器可省略，比较易于工程实现．在工程实际中，可以根据具体条件，选择合适的实施方案．

[1]BrownR，ChuaL，PoppB．Issensitivedependenceoninitialconditionsnature'ssen-sorydevice[J]．InternationalJournalofBifurcationandChaos，1992，2（1）：193-199．

[2]王冠宇，陶国良，陈行，等．混沌振子在强噪声背景信号检测中的应用[J]．仪器仪表学报，1997，18（2）：209-212．

[3]王冠宇，陈大军，林建亚，等．Duffing振子微弱信号检测方法的统计特性研究[J]．电子学报，1998，26（10）：38-44．

[4]聂春燕，石要武，刘振泽．混沌系统测量nV级正弦信号方法的研究[J]．电工技术学报，2002，17（5）：87-90．

[5]王雅曼．弱信号检测技术研究[J]．科技创新导报，2011（7）：13-14．

[责任编辑 代俊秋]

AmethodforDuffingchaoticsystemstatusidentificationbasedonphasediagramssegmentation

GAOZhen-bin1，SUNYue-ming1，LIJing-chun2

(1.SchoolofElectronicandInformationEngineering,HebeiUniversityofTechnology,Tianjin300401,China;2.TheStateRadioMonitoringCenter,Beijing100037,China)

IntheweakperiodicsignaldetectionsystemswhichuseDuffingchaoticoscillator,thekeyproblemishow todiscriminatethestateofDuffingchaoticsystem.Inview oftheobviousdifferencesbetweentwokindsofsystemphasediagrams,chaosandlargecycle,anewsystemstatusdeterminationmethodthatbasedonthephasediagramsegmentation isproposed.Bymeansofmakingasimpleareainthephasediagram,thepointsonthephasetrackareseparatedintotwoparts,andthenthestateofthesystemcanbededucedby identifyingwhichareathepointsaremainlylocatedin.Themainstepsofthemethodaregiven.Thecorrectrecognitionrateandthecomputationcomplexityareanalyzed.Itshows thatthismethodisnotonlyfeasibleforweaksinusoidalsignaldetectingwith 30dBsignal-to-noise-ratio,butalsosimpleforimplementation.

weaksignaldetection;chaos;Duffingchaoticoscillator;phasediagramssegmentation;signaltonoiseratio

TN911.23

A

1007-2373(2015)01-0023-05

10.14081/j.cnki.hgdxb.2015.01.005

2014-09-28

国家自然科学基金（61139001）

高振斌（1973-），男（汉族），副教授，Email：gao-zb@163.com．