“等时圆”模型的基本规律及其应用

何福泽

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2015）15-0067-02

在中学物理中存在这样一类问题，要求学生能从新的物理情景中提取有效信息，挖掘隐含条件，构建物理模型，然后把所学的物理概念和规律迁移到问题中快速找到解决问题的办法。顺利解决此类问题的关键是培养学生构建物理模型的能力。在教学中要善于捕捉信息，把握时机，针对性地进行这方面训练，以提高思维的敏捷性和建模能力。

物理模型是对实际问题的抽象，每一个模型的建立都有一定的条件和适用范围，在学习和应用物理模型解决物理问题时，最重要的一个环节是把实际问题简化成相应的物理模型。合理利用自己熟悉的物理模型简便地解决物理问题。在解决许多物理问题时，借助由基本物理规律所构建成的一些基本物理模型，可以把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，从而使得物理问题便于理解和接受，化难为易，解决物理问题达到意想不到的效果。下面以“等时圆”模型为例，体会如何通过巧妙地构建物理模型达到简化求解。基于此对“等时圆”规律和应用阐述如下：

一、物理模型概述

1.等时性的证明

设某一条弦与水平方向的夹角为a，圆的直径为d（如右图）。根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为 ，位移为 ，所以运动时间为===

结论：物体任意光滑条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关，仅与圆半径有关。

2.等时圆模型（如图所示）

3.等时圆规律

3-1物体位于同一竖直圆上从最高点（顶端）由静止开始沿不同的光滑弦到达圆周上各点所用的时间相等。（如图a）

3-2物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。（如图b）

3-3物体沿所有光滑弦运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d）做自由落体的时间，即：====（式中R为圆的半径。）

由此可以得出一个结论： 物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。推论：若将图a倒置成图b的形式，同样可以证明物体从最高点（顶端）由静止开始沿不同的光滑弦到达圆周上各点所用的时间相等。像这样的竖直圆简称为“等时圆”。

在重力场中，物体处于竖直平面内任意一个圆内的最高点，沿任何一条弦无摩擦下滑的物体到达圆周上发生的时间相等，可等效为最高点到最低点物体做自由落体运动的时间 ，可见时间t与弦的倾角、长短无关，仅与圆半径有關。关键寻找“等时圆”，确定最高点或最低点，所需要的弦，然后等效替代。拓展：在重力场中，物体处于竖直平面内任意一个圆内的圆周上沿任何一条弦无摩擦下滑到达最低点发生的时间相等，也可等效为最高点到最低点物体做自由落体运动的时间。“等时圆”的适用条件是：光滑斜面上初速为零的匀加速直线运动，且运动起点（或终点）应在“等时圆”的最高（或最低）点。

二、应用等时圆模型解典型例题

【例1】如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处无初速释放，用t1、t2、t3依次表示滑环到达d所用的时间，则（ ）

A.t1t2>t3

C.t3>t1>t2 D.t1=t2=t3

解析：选任一杆上的环为研究对象，对小滑环，受重力和支持力，将重力沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，受力分析并建立坐标如图2所示，设圆半径为R，根据牛顿第二定律得小滑环做初速为零的匀加速直线运动。由牛顿第二定律得：

①

再由几何关系，细杆长度 ②

设下滑时间为 ，则 ③

由以上三式得， ④

可见下滑时间与细杆倾角无关，所以D正确。

考点：牛顿第二定律；匀变速直线运动的位移与时间的关系。

专题：计算题。

分析：先受力分析后根据牛顿第二定律计算出滑环沿任意一根杆滑动的加速度，然后根据位移时间关系公式计算出时间，对表达式分析，得出时间与各因素的关系后得出结论。

点评：本题关键从众多的杆中抽象出一根杆，假设其与水平方向的夹角为%a，然后根据牛顿第二定律求出加速度，再根据运动学公式求出时间表达式讨论，利用“等时圆”模型的基本规律可知物体沿所有光滑弦运动的时间相等。

（责任编辑 全 玲）