例谈辩证统一哲学思想在数学解题中的指导作用

广东省广州市第四十四中学 宋庭贵

在哲学上，正与反，动与静，升与降等都是互相矛盾对立的概念，而唯物辩证法认为矛盾的事物又都是统一的，是可以相互转化的。在数学解题中若能恰当地运用辩证统一思想，换位思考，常常可使问题化繁为简、化难为易，起到柳暗花明，绝处逢生的奇妙作用。

一、利用“正”与“反”辩证的统一，化荆棘为坦途

事物的正、反两面是互相矛盾对立的。用“正难则反”思想解数学题，既是一种手段，又是一种策略，更是辩证统一哲学思想在数学解题上的重要运用。解题时若习惯于沿着一个方向思考问题，而忽视了事物之间具有双向性和可逆性，往往会使思维受阻。

例1：现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语。从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组。求B1和C1不全被选中得概率。

分析：直接分析“B1和C1不全被选中”的情况比较复杂，若考虑它的对立事件――“B1和C1全被选中”这一事件，则相当简单。问题中的“不全”这一否定表述，是采用“正难则反” 策略的启发词。

解：用N表示“B1和C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1和C1全被选中”这一事件。

由于从8人中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，由1 8个基本事件组成，而有3个基本事件，所以由对立事件概率得

二、利用“特殊”与“一般”的辩证统一，化柳暗为花明

“特殊”与“一般”既对立又统一，“一般”包含着“特殊”，“一般”比“特殊”更能反应事物的本质；而“特殊”相对“一般”来说往往显得简单和容易，直观和具体；因此，在数学解题时，若能辩证地看待二者之间的关系，常常能收到意想不到的解题效果。

例2：如图1，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积是（ ）

分析：此题由于线段EF位置的不确定，无论怎么分割图形都不好求体积。将图形特殊化，是解题的关键。

不妨设ED⊥平面ABCD，且使ED=2，连结AF、DF。

三、利用“整体”与“部分”的辩证统一，化阻滞为畅顺

某些数学问题，如果只是在其整体或部分中探寻解答，会使思维紊乱，头绪不清或陷入片面性，假若辩证地把整体转化为部分，或将部分拓展到整体，解题思路便会豁然开朗，问题也就迎刃而解。

例3：四面体OABC中，OA,OB,OC两两垂直，且OA=OB=4=，OC=2，求四面体的外接球半径。

分析：四面体外接球问题较复杂，直接入手很难，若用整体思想考虑，可看出四面体是长度为4，4，2的长方体的一部分，而长方体的外接球即为原四面体的外接球，长方体对角线为外接球半径此题是用整体补形法处理问题的典型例子，通过补形巧妙地转化了问题。

四、利用“主”与“次”的辩证统一，化繁难为简洁

常量与变量是一对矛盾的统一体，它们既是矛盾的，但是在一定条件下又是可以相互转化的。把常量当作变量，而反过来把变量当作常量的“反客为主”的思维方法，是一种巧妙的思维方法，是辩证统一哲学思想的具体运用。“反客为主”也称更换主元，是指在解题过程中将两个字母或代数式主次互换，达到消元、降次、化归的目的，将复杂问题简单化。

分析：本题化指数不等式为整式不等式是不难的，问题是下一步应当怎样走？是以x为主，讨论二次不等式，还是以a为主，讨论一次不等式？其难易之分是显而易见的。

故x的取值范围是(- ∞, -1 ) ∪ ( 3,+ ∞).