广东高考题中函数分类讨论的有效教学探究

广东省德庆县孔子中学 谢庆生

一、立足基础，明确分类的根源和原则

立足于最基础的解一元二次不等式，帮助学生理解为什么要分类，该如何进行分类。

例1．x2- 2 a x+ 2 ≤ 0

解析：学生看到带有参数的问题，首先反应是应考虑a＞0和a＜0这两种情况，如果我们能过帮助学生回忆解一元二次不等式的基本过程：求根，画图，根据图写出解这一过程，学生就能明白其实这里首先要考虑的是相应方程是否有根。应该考虑的是方程是否有解，而方程的解的情况和判别式Δ有关，这样学生就顺其自然地想到第一个分类根源；再接下来，如果有解，那么就会产生两个根，此时两个根的大小分布也会影响到图形，自然就过度到第二次分类的根源。学生在最基本的解一元二次不等式中就完成了对分类根源的产生有了认识，明确了分类的原则。

解：为Δ= 4 a2-8，所以当Δ＜0时，即时，原不等式的解集为Φ；

当Δ=0时，即对应的方程有两个相等实根。

当时，原不等式的解集是时，原不等式的解集是

当

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当Δ＞0时，对应的方程有两个实根，分别为且x1＜x2，所以不等式的解集是（注意两根大小的判定）

通过上述例子，可以让学生明确分类其实没有固定的模式。有关二次式的分类，主要由二次项系数是否为零，是否有根和根的大小这三个根源引起。在分类过程中，不要重复分类，不要有遗漏。

二、选好典型例题，掌握分类讨论的解决过程，帮助学生树立解决函数分类问题的信心

“碰到函数，就会求导，看到参数，就不敢往下写”是目前中等学生处理函数题的口头禅。我们要通过典型的例子帮助学生掌握解决函数有关分类讨论问题一般解决方法和需要注意的事项。

解析：要让学生明白导数的作用是什么，单调性和导数的正负是相联的，这样，本题的重点就转化成了处理ax2- 2 x+a的正负了，分类的根源和前面是相通的。

因为f′(x) ＜ 0在（0，+∞）上恒成立，所以 在（0，+∞）上单调递减。

当a＞0时，

当x∈ ( 0,+ ∞)时，方程f′(x) = 0与方程ax2- 2 x + a =0有相同的实根。

当a≤0时，

因为x ∈ (x1, x2)时，f′(x) ＜ 0，所以地f(x)在(x1,x2)上单调递减；

因为x∈(x2,+ ∞)时，f′(x) ＞ 0，所以f(x)在(x2,+∞)上单调递增；

②当a≥1时，Δ≤0，所以f′(x) ＞ 0在（0，+∞）上恒成立，故f(x) 在（0，+∞）上单调递增。

对于本题，要注意定义域对根的影响，我们也要通过本题总结出分类讨论的解题程序：先分后总。

三、选好练习题，让学生在实践中感悟，在练习中提升

第一，解不等式ax2- ( a + 1 )x +1 ＜ 0。

第二，已知函数f( x) = p l n x + ( p - 1 )x2+1，当p＞0时，讨论函数f(x)的单调性。

第三，已知函数f(x)=x2-x+alnx，a∈R，讨论f(x)在定义域上的单调性。

第五，（2013年广东高考文）设函数f( x) = x3- k x2+x （k∈R）．当k＜0时，求函数f(x)在[k,-k]上的最小值m和最大值M。

分类讨论的根源虽然不定，分类讨论的解题过程虽然复杂，但如果我们能过在课堂里进行有效的教学，在课后能够让学生进行有针对性的训练，让学生感悟函数分类讨论题的解决过程，要克服这一教学困难也是可以的。