解题中分类思想方法的应用

福建省龙岩初级中学 张丽萍

数学上的分类就是把一定的数学对象（全集），按某种标准将其元素分成不同的类（子集），每一元素属于且只属于其中的一类。任何一个数学对象，只要选择恰当的分类标准，一般都可以进行分类的。把一个数学对象进行分类，研究这些类所构成的数学结构的性质，就能达到研究全集的目的，并归纳得到全集的性质；或者对全集的一般性质，进一步研究它在子集上的具体表现和特殊的地方，从而获得对一般性质更具体更丰富的认识，这就是数学上的分类思想方法。

分类思想方法在解题上的应用主要有两种情况，一种是通过分类把一般性的问题转化为子集上的较特殊的问题，将抽象问题转化为子集上的具体问题，从而达到分而治之，各个击破。

例1：单位正方形周界上任意两点之间连一曲线，如果将正方形分成面积相等的两部分，则这条曲线的长度不小于1。

分析：这样的问题着手似乎很难，但只要我们考虑正方形周界上两点的位置情况，即对两点的位置情况进行分类，就不难找到证明的办法。如图一，单位正方形ABCD周界上任意两点M、N的分布有且只有三种情况，如图1。

（1）M、N在一组对边（如AD、BC）上；

（2）M、N在同一边（如AB）上；

（3）M、N在相邻两边（如AD、AB）上。

对于（1），过N作NE∥AB,连结MN,则曲线MN≥MN≥EN=1。

对于（2），取AD、BC的中点E、F，连结EF，因为曲线将正方形分成面积相等的两部分，则曲线与EF必相交，设P为其一个交点，作曲线PM关于EF的对称曲线PM’，则M’∈DC，且曲线PM’与曲线PM相等，于是问题转化为（1）。

对于（3），只要把（2）中的EF改为对角线BD，问题同样可转化为（1）。

综合以上三种情况，命题即得证。

解：（略）

另一种应用是有一些数学问题，给定的条件较宽或约束条件较少，在解题进行到某一步后，不能再以统一的方法处理，必须在条件所给出的全集内，正确地分成若干个子集，再分别在各个子集内继续进行求解，直到使问题获得完满的解决，这也就是所谓的“分类讨论”。如：

例2:分式方程有且仅有一个实根。求a的值。

分析：解分式方程的基本方法是去分母变为整式方程，原方程化为ax2+2x+(a-2)=0 ①

方程①可能是一次方程或者二次方程，①的解可能是原方程的根，也可能是增根。由题设原方程有且仅有一个实根，这唯一的实根必是①的根，根据这一实根存在的情况可进行如下的分类，而且这样分类是不漏不重的。

（1）方程①是一元一次方程，它的根中有唯一一个是原方程的根。

（2）方程①是一元二次方程。

i）①有两个相等的实根，它们是原方程的根（分式方程不计重根）。②有两个不相等的实根，但一个是原方程的根，另一个是原方程的增根。

解：原方程去分母，整理得

ax2+2x+(a-2)=0 ①

1、当a=0时，原方程为2x-2=0，有唯一根x=1，经检验x=1是原方程根。

2、若a≠0，①是一元二次方程。

i）当①有两个相等的实数根时，则△=4-4a（a-2）=0，得

当①的根为经检验是原方程的根。

当①的根为经检验是原方程的根。

ii）若①有两个不相等的实根，且一个是原方程的根，另一个是增根。

设x=0是方程①的根，它是原方程的增根，此时a=2，①的另一根为x=-1，经检验是原方程的根。

又设x=2是方程①的根，它也是原方程的增根，此时①的另一个根为x=3，经检验是原方程的根。

综上可得，a可取的值为0，

数学教育正朝着解决现实问题，强化应用的方向改革，影响问题的现实条件是多种多样，错综复杂的，远非书本上的练习题可比。对这些条件进行全面考虑，有条理地给予较完备的分类，往往是解决问题的前提。因此在初中数学教学中重视分类思想方法，加强应用练习，是有意义和完全必要的。