带随机利率的离散时间风险模型的破产概率

张媛媛, 陈利馥, 王文胜

(1.江苏理工学院 商学院, 江苏 常州 213001; 2.杭州师范大学 数学系, 浙江 杭州 310018)

带随机利率的离散时间风险模型的破产概率

张媛媛1, 陈利馥1, 王文胜2

(1.江苏理工学院 商学院, 江苏 常州 213001; 2.杭州师范大学 数学系, 浙江 杭州 310018)

考虑带随机利率的离散时间风险模型的破产概率. 所考虑的模型又称为期初应付年金风险模型.在该模型下,当索赔分布分别属于D∩L族、广义正则变化重尾分布族和正则变化重尾分布族时, 得到了破产概率的渐近表达式.

渐近性; 破产概率; 随机利率

0 引言

离散时间风险模型在保险业务中有着重要的应用, 例如, 汽车保险就是通过离散风险模型来刻画的.Grandell[1]和Asmussen[2]给出一些连续时间风险模型可以用离散时间风险模型来逼近.因此,研究离散时间风险模型是非常必要的.近年来出现了许多研究离散时间风险模型的文章[3-4].

更新风险模型自建立以来,许多学者都对其进行了广泛而深入的研究,为了使其更贴合实际,许多学者考虑了带利率的更新风险模型.因此,出现了许多研究带利率风险模型破产概率的文章[5-6].他们都是在连续时间风险模型下研究破产概率的.有学者研究了带利率的离散时间风险模型[7-8],他们都是考虑带常利率的.Cai[9]和 Wei[10]等人考虑了带随机利率的离散时间风险模型.Cai[9]分别利用鞅方法和更新递推方法得到了关于破产概率的随机不等式,利用这些随机不等式可以算出破产概率的上界.Wei[10]等作者得到了有限时间破产概率的递推式和最终破产概率的上界.他们都没有得到破产概率的渐近表达式.因此,本文将研究离散时间风险模型，考虑带随机利率的离散时间风险模型破产概率的渐近性.

1 模型介绍

保险公司的盈余模型由下面的递推式来描述

U0=x,Un=(Un-1+Xn)(1+In)-Yn,n=1,2,…

(1)

其中x≥0表示初始资本.{Xn,n≥1},{In,n≥1}和{Yn,n≥1}是三列独立同分布的非负随机变量序列.In表示第n个时期内(即从n-1时刻到n时刻)的利率.Xn表示第n个时期内的保费收入,并且保费是在第n个时期开始时(即n-1时刻)交.Yn表示第n个时期内的索赔额,并且索赔额是在第n个时期结束时(即n时刻)支付.记FY(x)=Pr(Y1≤x)为{Yn,n≥1}共同的分布,记FZ(x)=Pr(Z1≤x)为{Zn=1+In,n≥1}共同的分布.设{Xn,n≥1},{In,n≥1}和{Yn,n≥1}相互独立.

(2)

定义最终破产概率为

定义1 设F是定义在(-∞,∞)上的分布.若存在常数0≤α<∞,使得对任意的y>0有

则称分布函数F具有正则变化尾.记作F∈R-α.

定义2 设F是定义在(-∞,∞)上的分布.若存在常数0≤α≤β<∞,使得对任意的y≥1有

则称分布函数F具有广义正则变化尾.记作F∈ERV(-α,-β).

定义3 设F是定义在(-∞,∞)上的分布.如果对任意的0

则称分布函数F具有控制变化尾.记作F∈D.

定义4 设F是定义在(-∞,∞)上的分布.如果对任意的y有

上述重尾分布族有下面的包含关系:R⊂ERV⊂D∩L.更多有关重尾分布族的内容以及它们在金融保险中的应用可以参阅Embrechts et al[11].

2 破产概率的渐近表达式

我们先来回忆一些长尾分布族的性质.

引理2 设FV1是随机变量V1的分布函数且FV1∈L.V2是一个非负随机变量.FV1V2表示V1V2的分布函数.则FV1V2∈L.

下面的引理描述了控制变化尾分布族的一个性质,可以参看Cline and Samorodnitsky[13]中的定理.

引理4 设FV1是随机变量V1的分布函数且FV1∈D.V2是一个非负随机变量.FV1V2表示V1V2的分布函数.则FV1V2∈D.

引理5 考虑前面介绍的风险模型.假设FY∈D∩L,则{Wk,k≥1}是一列独立同分布的随机变量序列且其共同的分布FW∈D∩L.

因此{Wk,k≥1}是一列同分布的随机变量序列.由引理1我们还可以得到FW∈L.由引理4知FYZ-1∈D.因此,应用引理1,对任意的0

故FW∈D.这样我们就完成了引理的证明.

下面的引理描述了重尾分布族的一些性质.

引理6[14]假设{Xk,1≤k≤m}是一列独立同分布的随机变量序列,其共同的分布为F,{θk,1≤k≤m}是另一列独立同分布的非负随机变量序列并且与{Xk,1≤k≤m}独立.另外其还满足对某一0

1) 如果F∈D∩L,那么

2) 如果F∈D∩L,那么

其中对任意的y>0,

3) 如果F∈ERV(-α,-β),其中0≤α≤β<∞,那么

4) 如果F∈R-α,其中α≥0,那么

下面的引理描述了长尾分布族的一个重要性质.

引理7[13]若分布函数F∈L,则存在函数a(·):[0,∞)→[0,∞)使得下列式子同时成立:

引理8[13]考虑前面介绍的风险模型.假设FY∈D∩L,那么

证明 由马尔可夫不等式得

定理1 考虑前面介绍的风险模型.假设FY∈D∩L,那么

证明 对任意固定的m=1,2,…,由引理1及引理5、引理6可得

(3)

用引理8证明中的类似方法我们可以得到当m充分大时,上式中的后一项和式是可以忽略掉的.因此,

ψ(x)

(4)

(5)

利用式(3)证明中的类似方法以及引理7,我们可以得到

(6)

由引理8知,当m充分大时J2(x)是可以忽略掉的.因此,结合式(4)～式(6),我们得到了

定理2 考虑前面介绍的风险模型.假设FY∈D∩L,那么

其中对任意的y>0,

证明 对任意固定的m=1,2,…,利用定理1证明中的类似方法,我们可以得到

所以ψ(x).

另一方面,我们有

用引理8证明中的类似方法我们可以得到当m充分大时,上面的和式是可以忽略掉的.因此,

推论1 1) 如果FY∈ERV(-α,-β),其中0≤α≤β<∞,那么

2) 如果FY∈R-α,其中α≥0,那么

[1] Grandell J. Aspects of risk theory[M]. New York: Springer,1991.

[2] Asmussen S. Ruin Probabilities[M]. Singapore: World Scientific, 2000.

[3] Liu H, Bao Z H. On a discrete-time risk model with general income and time-dependent claims[J]. J Comput Appl Math, 2014, 260(02): 470-481.

[4] Yuen K C, Li J Z, Wu R. On a discrete-time risk model with delayed claims and dividends[J]. Risk Decis Anal, 2013, 4(1): 3-16.

[5] Wang D C. Finite-time ruin probability with heavy-tailed claims and constant interest rate[J]. Stoch Models,2008,24(1):41-57.

[6] Li J, Wang K, Wang Y. Finite-time ruin probability with NQD dominated varying-tailed claims and NLOD inter-arrival times[J]. J System Science Comple, 2009, 22(3): 407-414.

[7] Sun L, Yang H. Ruin theory in a discrete time risk model with interest income[J]. B A J, 2003, 9(3): 637-652.

[8] Weng C G, Zhang Y, Tan K S. Ruin probabilities in a discrete time risk model with dependent risks of heavy tail[J]. Scand Actuarial J, 2009(3): 205-218.

[9] Cai J. Discrete time risk models under rates of interest[J]. Probab Engineer Infor Sci, 2002(16): 309-324.

[10] Wei X, Hu Y J. Ruin Probabilities for discrete time risk models with stochastic rates of interest[J]. Statist Probab Lett, 2008, 78(6): 707-715.

[11] Embrechts P, Klüppelberg C, Mikosch T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1997.

[12] Tang Q H. The ruin Probability of a discrete time risk model under constant interest rate with heavy tails[J]. Scand Actuarial J, 2004(3): 229-240.

[13] Cline D B H, Samorodnitsky G. Subexponentiality of the product of independent random variables[J]. Stochastic Process Appl, 1994, 49(1): 75-98.

[14] Tang Q H, Tsitsiashvili G. Randomly weighted sums of subexponential random variables with application to ruin the-ory[J]. Extremes, 2003, 6(3): 171-188.

[责任编辑：李春红]

Ruin Probability of a Discrete Time Risk Modelunder Stochastic Rates of Interest

ZHANG Yuan-yuan1, CHEN Li-fu1, WANG Wen-sheng2

(1.School of Business, Jiangsu University of Technology, Changzhou Jiangsu 213001, China)(2.Department of Mathematics, Hangzhou Normal University, Hangzhou Zhejiang 310018, China)

The ruin probability of a discrete time risk model under stochastic interest rate was considered in this paper.The risk model is also called the annuity-due risk model. When the common distribution of claim sizes belongs to the classD∩L, ERVandR, respectively,an asymptotic formula for the ultimate ruin probability is derived.

asymptotic; ruin probability; stochastic interest rate

2015-06-07

浙江省自然科学基金资助项目(LY14A010025)

张媛媛(1985-),女,江苏扬州人,讲师,博士,主要从事风险理论方面的研究. E-mail: zyylhh1227@163.com

O211.6

A

1671-6876(2015)04-0283-05