关于“对物理教材中两个概念的讨论”中“加减平衡力系”的商榷

陈奎孚 蔡 春

（1中国农业大学理学院，北京 100083；2北京联合大学应用文理学院，北京 100191）

《物理与工程》2010年第20卷第1期发表了《对物理教材中两个概念的讨论》一文（以下简称《对》文）[1].《对》文谈了两个问题，对其中第二个问题“关于势能的计算”的“加减平衡力系”的说法，笔者有不同观点.

问题的背景是关于图1所示悬挂弹簧质量系统的势能表达式.图1中：m表示物块的质量；k和l分别为弹簧的劲度系数和弹簧原长；δst＝mg／k为静平衡时的弹簧静伸长（g为重力加速度）.选择静平衡位置O为坐标原点，并选定该点为系统的零势能点后，则系统势能为

考虑到静平衡的kδst＝mg，上式就变成十分简洁的形式

图1 悬挂弹簧质量系统示意图

《对》文认为从式（1）到式（2）的深层物理本质是“重力和弹簧静伸长的弹性力构成了一个平衡力系，由力学中的加减平衡力系公理可知，对于任意一个刚体，对其加上或减去一个平衡力系不影响原力系对刚体的作用效果”.该文还指出使用加减平衡力系公理要“同时满足下列两个条件：一是在静平衡时系统所受平衡力系中是否存在由弹簧静变形而产生的弹性力；二是在静平衡时弹簧的静变形是否是由振动物体的重力所引起”.

笔者认为弹簧是变形体，而且对所感兴趣的物理现象——振动，也必须考虑弹簧的变形效应（有弹性势能），因而不能使用“加减平衡力系公理”.该公理适用的对象是刚体.笔者认为能将式（1）变成式（2）是因为：①坐标x轴的原点选得好——正好在静平衡处；②系统零势能点选得好——也正好在静平衡处.力学规律应该与坐标无关，也就是说如果“加减平衡力系公理”能用，并且能够得到式（2）的结果，则改变坐标原点或系统零势能点，也应该得到同样的结果.但事实显然不是这样.

下面再给一个反例，说明使用“加减平衡力系公理”的不合理性.

图2也是一个单自由度系统，弹簧的一端悬挂在A点，另一端B系有质量块m，m在铅直的光滑滑道内运动.弹簧原长为l，劲度系数为k，AO距离为d.假定图中的实线对应静平衡位置（位置B处）.该系统显然满足《对》文所申明的两个条件.

依《对》文的说法，使用“加减平衡力系公理”后，系统势能为

图2 单自由度弹簧系统示意图

这里的Δ是质量偏离平衡的位移x所造成的弹簧变形，也就是系统在图2中点线状态下（图2中C处）的弹簧相对平静位置（不是原长）的伸长量，它与重力无关.由图中几何关系有

但对微幅的线性振动，上式展开到x的泰勒级数一次项即可，记

将式（4）代入式（3）得到

从头算起的算法为

这里的Δ为图2中点线示意状态的弹簧相对于弹簧原长的伸长量（不是平衡状态）.根据图2中的三角形关系有

将式（7）代入式（6），并近似到泰勒级数二次项有

根据图2中几何关系，知道上式第一项为零.在平衡位置，隔离质量块m作受力分析，可以得到静平衡时有如下关系

这样式（8）的第二式也为零（这是必然的，因为我们选择了平衡位置为坐标原点）.

综上，式（8）变为

它显然不同于式（5）的U1.前者也无法退化为后者（除非δst＝0）.而式（9）中的δst正是弹簧变形不能忽略的体现.

教学实践中，往往强调式（4）解题的方便性，但不得不遗憾地指出它的适用范围非常有限，工程问题大多是像图2那样的模型.

目前的教学往往强调解题速度.为了提高速度，学生不得不针对特殊的题型，训练和记住不同解题方法.这不仅大量地占用学习资源，更导致学生无暇理解科学的本质和科学的美.真正的科学教育应该强调通用解法和基本思路，具体公式推导和计算细节交给计算机去完成.比如上述的泰勒级数展开，就是用Mathematica软件完成的.

[1]樊丽俭，冯振宇.对物理教材中两个概念的讨论[J].物理与工程，2010，20（1）：49-52.