保角变换法计算两共焦抛物板间等势线和电场线

王 全

（南通大学理学院，江苏 南通 226007）

在解决复杂边界形状的电磁学问题时，利用分离变量法或格林函数法解拉普拉斯方程、泊松方程较为烦琐，甚至无法解决；利用保角变换法能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题变得简单、直观，便于解决.例如文献[1]用抛物柱坐标系通过解拉普拉斯方程得到电势分布函数，文献[2]利用解析函数的性质和柯西-黎曼条件，根据拉普拉斯方程直接推测得到等势线方程，从而导出两共焦抛物板间的电场分布.文献[3]指出利用保角变换中的幂指数变换可将抛物线转换成直线，但未能给出该问题的解.本文通过幂指数变换，给出两共焦抛物板间等势线和电场线的解析解，并利用数学工具绘制出电场线和等势线图，同时对保角变换法在电磁学中的应用进行讨论.

1 两共焦抛物线的变换

图1为z平面的两共焦抛物线，其共同的焦点为坐标原点，可通过幂指数变换函数式（1），将z平面上的两共焦抛物线变换成ω平面上的两条直线，如图2所示.

图1 z平面上的两共焦抛物线

图2 ω平面上的两条直线

在式（1）中，z＝x＋yi，ω＝u＋vi，所以

根据式（2），x＝u2-v2，y＝2uv，令v＝（其中c是大于零的某一常数），则

式（3）中消去u，可得

式（4）即为抛物线方程，在z平面上其焦点为坐标原点，取不同的c，在z平面上构成共焦抛物线.根据变换函数式（1），共焦抛物线在ω平面上是的直线.

2 两长直共焦抛物导体柱间的等势线

两长直共焦抛物导体柱的电势与三维空间的z轴无关，因此其等势面就转化为二维平面的等势线.根据保角变换，z坐标系中的两长直共焦抛物导体柱表面变换成ω坐标系中的两无限大平面，z平面上的等势线与ω平面上的等势线互为变换.

两无限大平行板之间的等势线平行于板，在ω平面上即为的一系列直线，因此根据逆变换，在z平面上的等势线方程为式（4）的共焦抛物线族，如图3所示.该结果与文献[1]、[2]结果通过坐标互换后相同.

图3 两长直共焦抛物导体柱间的等势线

图4 两长直共焦抛物导体柱间的电场线

3 两长直共焦抛物导体柱间的电场线

两无限大平行板之间的电场线垂直于板，在ω平面上即为u＝d（d为某一常数），v的取值范围为c1＜v＜c2的一系列线段，因此根据式（2），可得

式（5）中消去v，可得

式（6）即为两长直共焦抛物导体柱在z平面上的电场线所遵循的方程，表明其电场线也是抛物线的一部分（由于v有取值范围），取不同的d，在z平面上构成共焦抛物线族（焦点为坐标原点），如图4所示.该结果与文献[2]结果通过坐标互换后相同.

4 讨论

对两长直共焦抛物导体柱间的电势和电场的研究可以发现：通过保角变换解决复杂边界的电磁学问题可化繁为简，形象直观，就是在两坐标系之间建立某个映射，从而简化拉普拉斯方程、泊松方程的边界条件，方便地获得解析解，再通过逆变换得到原问题的解.

在拉普拉斯方程和泊松方程中，φ是势函数，而非矢量，所以利用保角变换处理问题时，一般是ω平面上的势函数通过逆变换得到z平面上的势函数.对于矢量逆变换要谨慎.例如在本文中，在ω坐标系中两无限大平行板之间的电场是匀强电场，电场强度的大小处处相等，如果通过逆变换，那么在z坐标系中的两长直共焦抛物导体柱之间任一点的电场强度也相等，显然是错误的.

总之，利用保角变化解决复杂电磁场问题时，本质上是在两坐标系之间建立点与点、线与线（例如本文中的电场线）之间的映射，而对于矢量的大小是不能映射的.

[1]朱国斌，陈钢，陈梦姣.用抛物柱坐标求解两共焦抛物板间的电势和电场[J].大学物理，2011，30（11）：56-57.

[2]贾秀敏，苏景顺.再论两共焦抛物导体柱板间的电场分布[J].大学物理，2013，32（12）：10-11.

[3]Schinzinger R，Laura P A A.Conformal Mapping：Methods and Application[M].New York：Dover Publications，INC，2003：38.