基于Matlab软件GUI功能对气体分子麦克斯韦速率分布的比较分析

徐 斌 陈 浩

（华南师范大学物理与电信工程学院，广东 广州 510006）

分子的麦克斯韦速率分布是学习统计物理的基础，而它除了在热学领域内有很丰富的内涵和应用外，在物理学的其他方面同样有着重要的体现，如在激光原理与技术方面，研究粒子跃迁发光谱线的谱线增宽原因时，就要考虑到麦克斯韦速率分布对光频率改变的多普勒效应的影响.因此，在大学物理教学中，麦克斯韦速率分布始终是重点.

然而，以往对麦克斯韦速率分布的教学局限于抽象的理论分析，借助软件作出的图像也一般是静态的，缺乏交互性.本文呈现一种新的麦克斯韦速率分布的教学方法，试图通过该方法增强课堂讲授的效果，加深学生对知识的理解.该方法主要借助Matlab软件的图形用户界面（Graphical User Interface，简称 GUI，又称图形用户接口，是指采用图形方式显示的计算机操作用户界面），具体实施时，以Matlab作为平台，先通过建模，确定研究对象，再建立Matlab中的图形用户界面，根据不同的环境和情境条件，输入一定的程序与指令，在计算机平台上操作运行，可实现交互式的比较分析.实现从原来抽象的理论分析到图形交互的比较分析的转化，有助于形象深入地了解麦克斯韦速率分布，提高课堂教学的效果[1].

1 运用Matlab的GUI功能对麦克斯韦速率分布的比较分析

基于Matlab的图形用户界面功能分析气体分子在正常状态和泻流状态下的麦克斯韦速率分布：

1.1 比较正常状态与泻流状态下，分子的麦克斯韦速率分布特点

泻流是指分子通过器壁上的小孔溢出的现象[2]，当分子溢出容器时，它在小孔口处的那些分子的速率分布可以通过Matlab的图形用户界面功能来模拟，进而分析它的特点.由于泻流时气体分子的状态与正常的不同，相应的速率分布函数也会不同，所以要先建立一个泻流状态的速率分布函数模型.由统计物理可知，气体分子的碰壁数公式适用于泻流状态，所以我们可以先得出气体分子的碰壁数，进而推导出其碰壁的速率分布，最后得出泻流状态的速率分布函数模型.

1.2 建立泻流状态的速率分布的理论模型

正常状态下的分子麦克斯韦速率分布函数及特点已被广泛研究[3]，本文不再对其理论模型进行推导.下面推导出泻流状态下的速率分布模型，首先通过麦克斯韦速率分布可以导出，在单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于v与v＋dv之间的分子数dΓ为

则单位时间内碰到器壁单位面积上的分子数Γ为[2]

所以气体的碰壁速率分布为

即泻流状态下，单位时间单位体积内的分子速率分布函数就是g（v）.

建立了速率分布函数后，我们可导出泻流状态下的3个特征速率[3]，所要求的最概然速率可由

给出，则最概然速率为

平均速率

方均根速率

以上即为泻流状态下，气体分子的速率分布以及相应的3个特征速率.接下来，通过Matlab软件的图像用户界面，讨论泻流状态下和正常状态下气体分子的速率分布以及3个特征速率的情况.

1.3 编写相应程序

由于要进行正常状态和泻流状态的速率分布比较，所以在GUI上要建立两套坐标体系.在设置好相应的GUI后，保存运行即可进入编程状态.由于有两套坐标体系，所以分别包含有1个坐标轴、“确定”按钮，2个输入文本框，3个输出文本框，最后通过一个主函数运行此程序[1].

因为气体分子泻流状态下的速率分布函数可由麦克斯韦速率分布函数导出，所以编写程序时，在相应的主函数的地方输入麦克斯韦速率分布函数的相应程序[4]：

得出主函数后，由于建立了两组坐标体系，所以此处设定了两个“确定”按钮.输入回调函数时，先在第一个“确定”按钮处输入绘制正常麦克斯韦速率分布函数曲线的的回调函数程序1：

回调函数程序1输入完毕后，输入回调函数程序2：

回调函数程序2能描绘泻流状态下，分子速率分布函数曲线，并计算3个特征速率.输入完毕后，即可点击运行程序.程序运行后可以得到，正常状态麦克斯韦速率分布图和泻流状态速率分布图.

1.4 运行程序并分析

编程完成后，输入一定的参数（T和mu），就可绘制出正常状态和泻流状态的分子速率分布图像.

（1）比较对于某种气体，在某容器内温度一定时，正常状态的麦克斯韦速率分布和泻流状态的速率分布.选取CO2为研究对象，其摩尔质量为44kg／mol，温度T＝300K，设定GUI，在左右两组参数输入框内分别输入以上参数，再分别单击确定运行，最后的运行结果如图1.

图1 运行结果

比较两种情况下的速率分布可知：第一，泻流状态下的气体分子速率分布和正常状态的麦克斯韦速率分布曲线的概率密度的取值和分子的速率分布的宽度都是基本一致.第二，泻流状态下的分子的最概然速率与正常情况下的方均根速率相同，这显然是由于方均根速率是跟平均动能联系一起的，泻流状态下具有平均动能的分子最有可能穿出容器.第三，在泻流状态下的3个特征速率都比正常状态的要大，这是显然的，因为必然是速率更大的气体分子更容易从小孔飞出，所以，总体来说，泻流状态下的气体分子速率都会比正常状态下的大.我们通过修改回调程序的部分，使得两幅曲线画到同一坐标上，见图2.

图2 同一坐标上的两幅曲线

把正常状态和泻流状态的两条曲线画到同一坐标系中，可以更清晰直接地辨别出它们二者之间的异同，更利于分析研究.如图3，对比分析两条曲线可知，曲线顶峰偏左的是正常状态下的麦克斯韦速率分布曲线，而曲线顶峰偏右的是泻流状态下的分子速率分布曲线.泻流状态的分布曲线大致可看作是正常状态的分布曲线向右平移得到，但两者有差别，例如，最概然速率不同，泻流状态的明显要比正常状态的大，但对应的概率密度就稍小一点，而泻流状态下的速率分布宽度又要比正常的速率分布的宽度稍大，这都是归一化条件要求的.同时也看到，泻流状态的分子对应速率为零的概率基本为零，这是因为要穿出器壁的分子速率不可能为零的缘故.

（2）比较相同条件下，气体在容器内的正常麦克斯韦速率分布与泻流时的速率分布.如选取相同温度，比较不同气体分子的情况（见图3），或选定某种气体分子，比较不同温度的情况（见图4）：

图3 不同气体的麦克斯韦速率分布曲线

图3显示的是CO2、O2、N2的麦克斯韦速率分布图像，比较两种情况容易发现，在温度相同（都设定在常温状态下）时，随着摩尔质量的增加，概率密度明显增大，而相应的最概然速率、平均速率、方均根速率都分别增加.

图4描述的是O2在不同温度下的速率分布情况.如果修改部分回调程序，可把两种情况下的分布曲线置于同一个坐标轴下（见图5），此时又可以明显地比较分析出正常状态和泻流状态下的气体麦克斯韦速率分布与温度之间的关系.从以上的结果我们可以进一步比较分析出，在不同情况下的气体分子的速率分布的特点.从图3我们可以直观地看到，在温度相同时，摩尔质量越大的气体分子其速率分布越集中，气体分子速率的取值范围较小，其最概然速率也相应的偏小.用经典力学的思维，或许可以理解为质量越大的分子越难“驱动”，所以速率分布集中，而且相对较小；而质量越小的分子越“散漫”，速率分布较广，而且相对较大.当然，这里的分析应用于泻流状态下也是相同的.而从图4可以直观地看到，对于同一种气体分子（摩尔质量相同），温度越高气体分子的速率分布就越分散，速率的取值范围也较宽广，其最概然速率相应的偏大.根据热力学统计理论，定性来看，温度越高说明分子的热运动越剧烈，则速率较大的气体分子会较多，那么相应的3种特征速率当然都会偏大.这里，把不同情况下的速率分布及变化特点都通过图像动态直观地呈现，显然，这些特点在麦克斯韦速率分布表达函数中是难以直接看到的，而且我们也给出了对应两个参数（温度和摩尔质量）的3种特征速率，显示了Matlab软件中应用GUI功能研究问题的交互性与清晰性[5].

图4 不同温度下的气体分子麦克斯韦速率分布曲线

2 结语

通过借助Matlab软件的图形用户界面来动态描绘气体分子的速率分布曲线，利用其高度交互和形象化的特点，有助于课堂上对气体分子的麦克斯韦速率分布进行深入的分析和研究，加深学生对知识的理解，提高教、学的效果.本文仅利用GUI功能对麦克斯韦速率分布的部分特征进行了比较分析，此外，还可以进行更多的拓展分析，比如，通过修改本文程序中的一些参数（如x轴的速率取值范围），研究低温或高温下，气体分子的麦克斯韦速率分布.也可以通过改写分布函数，探究其他类型的速率分布问题，如在重力场中的气体密度随高度的分布问题等.

Matlab软件的GUI功能以及对应的程序为学习麦克斯韦速率分布及其拓展分析提供了一个方便使用的平台，有助于把抽象问题具体化和形象化，更重要的是实现了课堂教学的高度交互性.虽然本文只是利用该平台的一个例子，但能开阔我们在统计物理教学中的思路，进一步拓展到其他的有关分布教学中，如玻耳兹曼分布、费米分布、玻色分布等.

[1]陈垚光，毛涛涛，王正林，等.精通 MATLAB GUI设计[M].北京：电子工业出版社，2008.

[2]汪志诚.热力学·统计物理[M].5版.北京：高等教育出版社，2013.

[3]赵凯华，罗蔚茵.新概念物理教程.热学[M].2版.北京：高等教育出版社，2005.

[4]苏金明，王永利.MATLAB 7.0实用指南[M].北京：电子工业出版社，2004.

[5]曾立.Matlab在大学《热学》课程教学中的应用[J].广西师范学院学报（自然科学版），2008，27（3）：104-110.