不均匀介质的平均介电常数及其应用

朱 润

(利辛第一中学，安徽 利辛 236700)

不均匀介质的平均介电常数及其应用

朱 润

(利辛第一中学，安徽 利辛 236700)

研究了不均匀介质情况下，非平行板电容器的电场强度和能量问题。研究表明，在平行电场方向不均匀时，可以用介电常数的加权调和平均值来简化电场能量和电容量的计算；在垂直电场方向不均匀时，可以用介电常数的加权平均值来简化计算。

不均匀介质；介电常数；平均值；电场

电容器是电路中不可缺少的重要元件，具有广泛的应用。电容量描述了电容器容纳电荷的本领，是核心技术参数。在介质均匀的情况下，我们可以严格的计算出某些对称较高的电容器的电容量[1]。然而，介质均匀只是一种理想情况，实际上介质总是不均匀的，至少不完全均匀。因此，研究不均匀介质中电容量的计算具有重要的应用价值。

文献[2]研究了填充有不均匀介质时平行板电容器的问题。本文研究了不均匀介质情况下非平行板电容器的问题，并对介质垂直电场方向不均匀和平行电场方向不均匀两种情况进行了深入分析。

1 基本理论

一般来说，电容器内的电介质不带自由电荷，电场满足麦克斯韦方程组[3]

(1)

▽2φ+▽lnε·▽φ=0

(2)

▽2φ=0

(3)

方程在形式上与均匀介质情况相同。

当介质在平行电场方向不均匀时，

▽2φ+(lnε)n(φ)n=0

(4)

下面以圆柱壳电容器为例，分别根据(3)和(4)式进行深入分析。

2 不均匀介质时的情况

(5)

由此可以解出电势和电场强度

(6)

系统的能量为

(7)

如果上述电容器内部填充介电常数为ε(ρ)的不均匀电介质，这时介质在平行电场方向不均匀，符合方程(4)的条件。两柱面间加电压U0后，电势φ=φ(ρ)满足定解问题

(8)

可以解出

(9)

其中常数A可以由边界条件φ(b)=U0确定，结果为

(10)

注意到上式中的积分可以看成介电常数以1/ρ为权重的加权调和平均值，即定义

(11)

(12)

由此得到电场能量

(13)

(7)与(11)两式的条件不同，但是形式相同，说明都可以利用介电常数的横向平均值来计算电容和电场能量。由文献[4]得到电容器的带电量与电容分别为

(14)

3 结论

研究结果表明，垂直电场方向不均匀的情况下，可以利用介电常数的横向平均值来计算电容和电场能量；沿着电场方向不均匀的情况下，可以利用介电常数的加权调和平均值来计算电容和电场能量。本文中的结果在介质均匀的情况下，都回到了已知的结果。适当调整权重，可以用于平行板电容器和球壳型电容器。

[1] 梁成升．平行板类电容器电容的计算[J]．物理与工程，2009，19(1)：58-60．

[2] 叶伟国．有电介质时平行板电容器电容计算问题的讨论[J]．物理与工程，2008，18(3)：63-64．

[3] 郭硕鸿．电动力学[M]．3版．北京：高等教育出版社，2008：49-56．

[4] П．Д．朗道，Е．М．栗弗席兹．朗道理论物理教程：卷8连续媒质电动力学(上册) [M]．北京：人民教育出版社，1963：4-12．

Average dielectric constant in the inhomogeneous medium and its applications

ZHU Run

(No. 1MiddleSchoolofLixin,LixinAnhui236700,China)

The weighted harmonic mean of the dielectric constant can simplify the calculation of electric capacity in the case that inhomogeneous medium is in parallel to the electric field direction; and the weighted common mean of the dielectric constant is in vertical direction.

inhomogeneous medium; dielectric constant; average; electric field

2015-05-21

国家自然科学基金项目(111273008)；安徽省重点教学研究项目(20100637)资助。

朱 润(1984-)，男，学士，中教一级，研究方向：数学物理。

O-441

A

1004-4329(2015)03-029-02

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329(2015)03-029-02