钢球全表面展开机构模型建立及其运动分析

赵彦玲，云子艳，向敬忠，崔思海，夏成涛

（哈尔滨理工大学机械动力工程学院，黑龙江哈尔滨150080）

钢球全表面展开机构模型建立及其运动分析

赵彦玲，云子艳，向敬忠，崔思海，夏成涛

（哈尔滨理工大学机械动力工程学院，黑龙江哈尔滨150080）

针对镜面钢球缺陷检测装置中的球体全表面展开问题，建立展开机构接触模型并对球体运动进行分析，证明展开机构结构合理可行。首先由坐标变换建立数学模型，基于Matlab对模型空间接触位置进行计算，将展开运动合理简化，得到钢球和展开轮之间转动的同步关系；其次，对展开运动过程进行等效变换，寻找传动过程中能使钢球稳定展开的最优参数关系；最后，依据迭代法对球面上点的运动轨迹进行数值仿真，获得其具体规律为偏角固定的螺旋线。最终结果表明展开机构能够实现球体的全表面展开。

镜面钢球；全表面展开；接触模型；同步；等效变换；螺旋线

钢球是最常见的轴承滚动体，它的表面质量对轴承性能及寿命至关重要［1］，目前国内大部分厂家沿用了传统的人工检测［2］。随着现代制造业的发展，人工检测在精度和效率上已难以满足市场需求，高效、高精的钢球表面无损自动检测设备［3⁃4］的研发，成为亟待解决的问题。

随着国外钢球检测技术的日渐成熟［5⁃6］，国内学者也对此进行了深入探索。华宣积、赵刚、潘洪平等学者分别建立了较为精确的球面展开数学模型，进行了详尽的理论分析［7⁃9］；由于这些模型涉及参数较多，难以确定展开机构中各参数选取依据；此外，王宏采用的上下导轮同速搓动的经纬展开模型结构［10］，可实现球面的全部检测，但由于展开动力为双驱动并且依赖滑动摩擦，容易产生钢球的二次磨损、漏检等。综上，相较国外先进设备而言，目前国内的设备仍然存在着展开不充分、效率不够高等不足［11］。

获取全部表面信息是钢球自动检测的重要前提。针对该问题，建立球体展开机构接触模型；轮式结构的纯滚动运动形式，减少了检测过程球面的滑动磨损；通过合理简化复杂运动，直观分析球面展开的关键影响参数；通过球面上点的轨迹反应球体运动规律，证明该结构可实现球面的完整展开。

1 展开机构模型建立

本文确立的轮式展开机构，包括一个驱动轮，一个特殊结构锥轮，记为展开轮，以及支撑轮。建立如图1所示坐标系，基础坐标系S（O⁃XYZ）固定于展开轮中心，坐标系SO（O'⁃XOYOZO）平行于S，原点位于球心处，转动坐标系为S'（O'⁃X'Y'Z'），和球心固连，其Y'轴方向为钢球空间瞬时转轴。

该机构中，展开轮最为关键。驱动轮提供动力，依靠摩擦带动钢球和展开轮转动，该过程为纯滚动，减少了钢球再次产生磨损的可能。

展开轮结构具有特殊性，工作区域为与回转轴有夹角且关于原点对称的2个锥面。展开过程中，这种特殊结构可使钢球和展开轮的接触点时刻发生变化且变化呈现一定的周期性，促使钢球发生规律性翻转。为方便观察，展开轮工作面简化为2个完整圆锥面，简化后的接触模型如图2所示。

图1 展开机构位置坐标系Fig.1 Coordinate system of deployable mechanism

图2 空间接触模型Fig.2 The spatial contact model

根据欧拉方向余弦矩阵对简化锥面建立图示位置的左侧和右侧锥面方程［12］：

式中：a为锥面轴线与Y轴交点到原点的距离，ρ锥面上一点到相应顶点的距离，ε锥面轴线与Y轴夹角。

上述展开轮曲面任意点处的单位法向量如下：

在笛卡尔坐标下由余弦矩阵的变换定理可知，当展开轮转过角度Φ时，它的2个锥面矢量方程及单位法向量可表示如下：

RΦ为绕Y轴的转换矩阵：

研究整体运动时，将展开轮和钢球之间的接触视为刚体之间的点接触。锥面是单参数平面族的包络线，为一组直线构成直纹展开面［13］，任意时刻在2个锥面上必各自有一条直线和钢球相接触于一点，接触点记为A、B，2点空间位置的矢量方程：

锥面和球接触点的法矢指向球心，钢球半径记为r，则接触点到球心的矢径可以表示为

由空间向量关系可知：

展开轮的特殊结构使钢球在X方向不会发生移动，接触点和球心的位置关系如下式：

参数a为展开轮设计中给定的一个值，可视为已知，当给定待检测钢球半径，利用Matlab对上述公式组成的非线性方程组进行计算，即可得到展开轮转过不同角度时对应的ρ1，θ1，ρ2，θ2。

2 球心稳定性分析

转动过程中确保球心位置稳定，能够最大程度减小球体空间位置的移动，是保证球面有效展开的重要前提。图3为展开机构核心接触模型，可知球心到两接触点的距离始终为钢球半径。假设展开轮不动，它与钢球的相对运动可等效变换为钢球绕展开轮滚动。此时球心的运动轨迹即为左右两锥面分别沿各自轴线平移r／sin45°后的交线。该轨迹位于空间某一与XOZ面有夹角的平面，球心yO'值不固定且存在正负变化，说明钢球在展开轮作用下左右摆动，存在2个yO'值的极限位置。

已知球绕转过90°和270°时球心位于X轴，满足Y＝0，因此，保证轨迹曲线上存在另外一点也符合该条件，可保证球心轨迹在Y＝0面，即钢球稳定。

模型建立的初始位置为展开轮的一个特殊位置，展开轮两工作锥面的回转轴均位于YOZ平面，如图4所示。此时球心也位于YOZ面内，yO'处于一个极限值。

图3 等效变换后球心轨迹Fig.3 The center trajectory with transformation

图4 钢球球心随展开轮转动的极限位置Fig.4 The center limit position with unwinding wheel rotation

由L1、L22条直线平面方程解得P1的坐标为

由图中几何关系和P1点坐标值，可以得到角平分线O1P1的方程：

由以上分析可知，对应不同ε值时该直线经过固定点（a，0，0），如图4，K为过O1点的垂线与Y轴的交点，过P1点平行于Y轴的直线与O1K交于点M，与Z轴交于点N，计算得：

为保证稳定，令yO'＝0，即P1M＝P1N，整理得：

即当a取值遵循上述规律时，认为钢球不再发生左右摆动；zO'为展开轮特殊结构造成的自身浮动，实际钢球在该方向与驱动轮刚性接触，无移动。

以上说明，展开轮设计参数a是影响钢球能否完整展开的一个关键因素。

3 钢球空间运动的简化

展开装置工作过程中，钢球总绕自身的一条空间转轴转动。该轴线位于展开轮两锥面的接触点和球心所在平面，随接触点的位置时刻发生变化，成为一条瞬时转轴。瞬时轴变化反应钢球的运动规律，对研究影响钢球运动规律有重要意义。

钢球绕瞬时轴转动φ角，可认为是将SO绕某任意轴R旋转角度φ得到O'⁃X'Y'Z（即坐标系S'）。任意轴R为钢球的瞬时轴，在固定坐标系中的方向角如图5所示。

图5 钢球瞬时轴方位角Fig.5 Azimuth of steel ball instantaneous axis

坐标系变换的方向余弦矩阵［14］如下：

由式（11）可知，检测给定尺寸的钢球时，夹角ε增大，球心在Y轴和Z轴的波动均增大，考虑稳定性，ε宜取小一些。结合调查结果，考虑实际加工难度，将ε定为固定整数1°，以此为例进行计算。

表1给出了不同钢球尺寸条件下，按照式（8）进行计算得到的a值以及相应选取的近似值。

表1 不同钢球对应的a值的选取Table1 Selection of value a with different steel balls mm

假设某时刻刚球的瞬时轴在空间任意位置，将其分解到面ZO＝0、XO＝0内，与YO轴偏角分别为η、ζ，在接触A点，瞬时轴水平面上分量与Y轴的角度η满足如下关系：

展开轮转动周期为2π，前半周与后半周期运动规律完全相反，因此选取0到π的区间进行计算。取锥面顶角90°，对不同半径钢球及相应a值，经式（8）计算可得到接触点A、B的ρ和θ值，进而得到tan η和展开轮转角Φ的关系曲线，间隔为5°的密集点保证了曲线结果更为贴近实际，曲线结果如图6所示。

图6 tanη⁃Φ的关系曲线Fig.6 Relationship curve of tanη⁃Φ

可以发现，此时接触点、原点构成的平面和YOZ平面的夹角正切值非常小，可认为接触点在YOZ平面上，瞬时转轴只存在一个分量，这样就将复杂空间问题简化为平面问题。

简化后钢球和展开轮的运动关系如图7示。

图7 钢球和展开轮的相对转动Fig.7 Relative rotation of steel ball and unwinding wheel

瞬时轴随钢球和展开轮的接触位置的变化上下摆动，接触点处钢球和展开轮具有相同的沿X向的分速度，即

表2 ε选取与ZP1值关系Table2 The relation between ε and ZP1

可知ε值越大，展开轮和钢球转动同步性越差。当ε＜1.5°时，O'C≈CD，满足ω≈ω1，认为钢球与展开轮转动同步。说明ε为1°的假设较为合理。

综上，夹角ε是影响钢球运动的关键因素，通过计算ε为1°可满足要求。

4 球上点轨迹的数值仿真

4.1 点轨迹曲线的数值仿真

由于瞬时轴位置时刻变化，很难直接对瞬时轴转速进行计算，故采用迭代法，将一个周期的连续运动分解，步长Δφ很小时，计算结果较为接近实际结果。第k次计算后，钢球转过的角度φ为

式中：φ0为瞬时轴初始转角。

为方便了解球心的位置变化，将机构运动等效替换为匀速转动的展开轮带动钢球运动，轴线水平位置为起点，锥台轴线与Y轴夹角在YOZ平面内的投影为

钢球瞬时轴的方位角满足关系：

假设球面上有一点，由式（13）及瞬时轴的变化规律对该点位置进行迭代计算，每次计算点起始位置记为Qk-1，Q0为点初始位置，每次计算后点的新位置为

取r＝10mm的钢球球面上一点（0，0，10），迭代步长为Δφ＝1°，φ0＝0为起始位置，对给定点的新位置进行计算，获取每步计算后的坐标。计算结果储存在Matlab的rec数组，绘制获取坐标点的轨迹仿真图，结果如图8。由图8（a）知，点在钢球绕瞬时轴转过一周之后的轨迹为一段螺旋线，与起始位置产生一个偏角δ1。转过第2周后同样会产生一个偏角δ2，如图8（b）。钢球每转一周，都会产生一个新的偏角δn，距起始位置的总偏角为δ。

图8 转过圈数与偏角大小的关系Fig.8 The relationship between circle and angle

4.2 点轨迹曲线特性分析

钢球转过10周之后，得到点（0，0，10）转换后的坐标及偏角δ如表3所示。

表3 转过n周后点的坐标值Table3 Change of coordinate values with circle n

从表中可知，x近似认为回到YOZ平面。偏转角度满足关系：

δ＝arctan（y／z）

利用表中数据对δ进行计算，得到相应计算结果，并进行数据拟合，方程如下：

δ＝6.282 7·n+0.000 1

通过对比关系图9可以发现，离散点与拟合曲线上转过相应圈数的点几乎完全吻合。

图9 角度δ的拟合曲线与散点位置对比Fig.9 Comparison fitted curve with splashes of angle δ

由此可知，钢球在外力驱动作用下转过一周的过程，由于展开轮的特殊结构使钢球同时有一个绕XO轴的转角，且每周转过的偏角相等，约为6.28ε。这样，经过若干个周期之后，起始点轨迹呈偏角固定的螺旋线形缠绕满钢球表面，如图10。若检测装置固定于空间一个位置，球面上任意点的等偏角螺旋线运动，可确保球面均匀送至检测装置正下方，即实现了球面的完整展开。

图10 球面上一点空间轨迹仿真曲线Fig.10 Simulation curve of the point on the sphere

5 结论

1）本文建立了展开机构的空间接触模型，对展开轮和钢球的空间位置进行分析和计算，明确展开过程的周期性变化，同时将复杂空间问题简化成平面问题。

2）通过传动过程的理论分析，能找到合适的展开轮设计参数a值大小，使球心基本稳定。且给定不同的钢球直径，有合理的a值与之相对应，明确了展开轮一个设计参数的选取依据。

3）在钢球稳定展开的前提下，锥面与回转轴夹角ε为1°时，可以认为满足钢球和展开轮的转动同步关系。通过迭代法找到钢球上点运动轨迹的规律，为偏角固定的螺旋线，偏角约为6.28ε。探头检测区域大于该范围时，这种运动形式可以保证球面上的点均可通过检测区域。

以上结论证明，本文所设计的中心对称回转锥台结构的展开轮能够实现球体的稳定展开，这为展开机构的加工提供了理论基础。

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Modeling of the whole surface unfolding mechanism of a steel ball and its motion analysis

ZHAO Yanling，YUN Ziyan，XIANG Jingzhong，CUI Sihai，XIA Chengtao
（College of Mechanical and Power Engineering，Harbin University of Science and Technology，Harbin 150080，China）

For the whole surface unfolding problem in the defect detection device of a mirror steel ball，the rationali⁃ty and reliability of the whole surface unfolding mechanism are proven through the contact modeling and motion a⁃nalysis.First，establish the mathematical model through coordinate transformation，and calculate the contact points in the space of the model based on Matlab，reasonably simplify the movement to get the synchronous relationship of turning between the steel ball and unfolding wheel；second，conduct an equivalent transformation of the relative motion and look for the optimal parameter relationship which can make steel ball unfold steadily during the trans⁃mission process；at last，conduct numerical simulation on the movement track of the point on the ball by iterative method，deriving the spiral line with fixed deflection angle.The final result proves that this unfolding mechanism can complete full extension of the sphere.

steel ball；whole surface unfolding；contact modeling；synchronous relationship；equivalent transforma⁃tion；spiral

10.3969／j.issn.1006⁃7043.201409002

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006⁃7043.201409002.html

TH122

A

1006⁃7043（2015）02⁃0237⁃06

2014⁃09⁃01.网络出版时间：2015⁃01⁃22.

国家自然科学基金资助项目（51275140）.

赵彦玲（1963⁃），女，教授，硕士生导师.

赵彦玲，E⁃mail：zhaoyanling＠sina.com.