基于非线性四阶图像插值的亚像素边缘检测算法

吴鹏，徐洪玲，宋文龙，曹军

（东北林业大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨150040）

基于非线性四阶图像插值的亚像素边缘检测算法

吴鹏，徐洪玲，宋文龙，曹军

（东北林业大学机电工程学院，黑龙江哈尔滨150040）

为提高数字图像边缘检测的精度，提出了基于ENO的非线性四阶插值和Canny算子的亚像素边缘检测算法。本算法应用经典Canny算子检测图像边缘信息，对灰度图像进行处理得到梯度图像，然后在梯度图像上沿目标边缘的梯度方向进行基于ENO的非线性四阶插值，进行亚像素细分计算，对目标边缘进行亚像素精确定位。用所得到的边缘检测算法与基于正交多项式插值检测算法和基于三次多项式插值检测算法性能进行比较，仿真结果表明本文给出的基于ENO插值的检测算法不仅提高了图像的边缘检测能力，而且可以一定程度地克服噪声干扰。

边缘检测；亚像素；ENO插值；Canny算子

边缘是图像的重要特征之一，是图像灰度值的不连续点或变化剧烈的点的集合。正确提取图像边缘能够减少图像处理的信息量，为进一步分析图像提供了方便［1］。因此边缘检测是图像处理中一个相当重要的领域。传统的检测算子如Robert算子、Sobel算子、Prewitt算子运算量小，操作简单，但由于对噪声很敏感，使噪声对图像的影响变得很大，在实际应用中有一定的局限性。在微分算子基础上发展起来的Canny算子具有较好的抗噪性，但通常需要使用较大的滤波尺度，这主要是因为它进行了非极大值抑制和形态学连续操作的结果。近年来，很多学者围绕边缘检测的问题，展开了大量的工作，提出了很多算法［2⁃9］，取得了一定成果。

这些算子都是在像素级上检测图像边缘，而在许多实际应用中，要求检测的图像边缘达到亚像素级。例如在对植物根际微观物理因子进行检测时，被测边缘点的精度往往直接影响到整个测量的精度［10］，因此研究图像的亚像素边缘检测算法有重要的意义。亚像素边缘检测是指将边缘附近的像素进行分解，从而精确定位边缘。文献［11］使用3个灰度级矩阵来估计亚像素边缘位置；文献［12］提出一种结合高斯masks的拉布拉斯算子的面元模型，但这2种方法都是针对理想边缘模型提出的，且对图像噪声较敏感，如果考虑模糊后的边缘模型，就会增加模型参数，使得解析解的确定变得十分困难；文献［13］提出了基于Zernike矩阵和Sobel算子相结合的亚像素边缘检测算法，首先把理想阶跃灰度模型的4个参数映射到一建立的3个ZOM中，然后通过3个不同阶段的ZOM计算出边缘所在直线的参数，从而确定图像边缘的亚像素位置，但其没有考虑模板效应和没有考虑边缘梯度方向上的一阶导数模型；文献［14］提出了对二次多项式的最小二乘拟合求梯度的亚像素插值算法；文献［15］提出一种使用双线性内插增加图像分辨率的方法，能获得非常精细的格子作为边缘检测的先决步骤，这2种方法能够提供较高的亚像素边缘定位精度，但因模型复杂，其求解速度慢；文献［16］基于协方差自适应插值检测方法来减少整体的计算复杂度，然而这种方法需要一个较大的计算协方差矩阵，会引入一些错误。

本文提出了一种基于ENO（Essentially non⁃oscilla⁃tory）非线性四阶插值和Canny算子［17］的边缘检测算法，该算法先进行图像边缘检测，然后利用ENO四阶插值细分进行去噪，最后在对去噪后的图像进行边缘信息的重构。仿真结果表明本文提出的算法在计算边缘亚像素坐标时会更精确，具有细化边缘的能力，同时具有较好的去噪效果。

1 ENO插值算法描述

ENO插值法按每个像素周围的灰度级变化等级来选择多项式模板，运用数据的均差作为对平滑度估算。ENO插值的思想是通过自适应方式选取插值点，虽不能保证插值的单调性，但却允许出现非常微小的震荡，且具有一致高阶精度的优点［18］。

设fij＝f（xi，yj）为给定的一组离散数值，它表示规则网格的像素灰度值，其中xi＝xi-1+d，yi＝yi-1+d。对每个亚像素点（x∗，y∗），每个数值插值都定义如下：

式中：O（d4）为定义的近似误差。

ENO插值算法从与一个在点值（xi，yj）相同的零阶多项式开始，为了取得更高的阶数，应该在模板中加入另一个点，该模板是从2个邻区的相应差分的最小值得到的。这是一个迭代过程，一直迭代到满足多项式所需的阶数为止。可通过类似平整度指标的均差来构造模板［19］：

在所有可能的点中，均差值较小的点会被加到模板上。

因此有：

最后可得：

在这个插值过程中用到了由4个连续点构成的包含yj的模板：{yjminx，yjminx+1，yjminx+2，yjminx+3}。

∗∗∗∗所以，该模板可定义成R（x∗，y∗；f）＝qj，x∗（y∗；t）。

2 基于ENO插值的图像亚像素边缘检测

2.1 基于ENO的非线性四阶插值算法

数字图像的像素值是从图像中某个区域亮度的加权平均值得到的，因此该算法将图像像素定义成函数f（x，y）的均值：

在插值过程的第1步，通过将原像素分解成4个新像素，分辨率会增加。插值图像中的像素值为相同函数的均值。因此，这4个平均值可按式（5）～（8）计算：

这里采用4个节点的高斯求值公式来计算满足所需局部截断误差的积分值：

由文献［20］给出的方法，可得

可化成

2.2 边缘检测步骤

通过以上描述，基于ENO插值的图像亚像素边缘检测步骤如下：

1）利用Canny边缘检测算法检测出图像的像素边缘，并提取边缘信息，然后保存；

2）用ENO插值算法对所得边缘系数进行调整；每个像素在其周围取如下16个点，即f（xi-3，yj+3）、f（xi-3，yj-3）、f（xi+3，yj-3）、f（xi+3，yj-3）；f（xi-1，yj-3）、f（xi-1，yj+3）、f（xi+1，yj-3）、f（xi+，yj+3）；f（xi-3，yj+1）、f（xi-3，yj-1）、f（xi+3，yj-1）、f（xi+3，yj+1）；f（xi-1，yj-1）、f（xi-1，yj+1）、f（xi+1，yj-1）、f（xi+1，yj+1）。

将上述点代入式（9）、（10）、（11）和（12）得到插值结果，上述点是按文献［22］方法进行选取的；

3）由2）得到的插值结果为亚像素的边缘系数。

3 仿真验证

为验证所提出亚像素边缘检测算法的有效性，用文献［21］中提出的基于正交多项式插值检测算法（算法1）、基于三次多项式插值检测算法（算法2）和本文提出的检测算法对植物根系进行检测，并对图像检测结果进行比较。其中图1是一幅的无噪声原始根系图像，图2是一幅加入5%椒盐噪声的植物根系图像。

图1 原始根系图像Fig.1 The original root image

图2 加入5%椒盐噪声的图像Fig.2 The root image by adding 5%spiced salt noise

3.1 理想状态的检测结果

针对图1进行的检测结果如图3所示。图3为对原始根系图像进行边缘检测效果图的一部分图像。图2所用方法为基于正交多项式插值的检测算法，由图可知其在边界处较模糊，这是由于这种算法在边界处的插值不连续造成的；图3（a）所用方法为基于三次多项式插值的检测算法，从图中可以看到线性插值有平滑的效果，但视觉上较模糊；图3（b）是用本文提出算法检测的效果图，图像最清晰和光滑，测到的边缘定位准确，检测效果好。这是由于基于ENO插值的检测算法有均匀的响应，因而在保留图像边缘的几何特性有更好的表现，提高了图像的边缘检测能力。

图3 图1进行的检测结果Fig.3 The detection results of Fig.1

3.2 含噪声状态的检测结果

针对图2进行的检测结果如图4所示。图4为对加入椒盐噪声根系图像进行边缘检测效果图的一部分图像。由图4可以看出，利用算法1和算法2对噪声图像的检测结果中存在伪特征，图像被噪声污染严重；虽然图像中含有一些噪声，但应用本文提出的边缘检测方法不仅可以有效地提取边缘，而且可以抑制噪声干扰。

图像边缘对应二阶导数过零点，所以不同插值算法检测边缘的相对精度可用其二阶导数的收敛速率来测量。对于正交多项式插值法：g″f（x）＝f″（x）-f″（xi）+ 2c2／a2+O（d），说明当d减小时，误差增加了；对于三次多项式插值法来说，g″c（x）＝f″（x）+O（d），说明其二阶导数误差收敛至零的速度至少与d减至零的速度一样快［22］；由式（17）可知，本文所提算法误差减至零的速度要比d至零的速度快。因此在收敛速率的意义上，3种检测算法精度从高至低依次为：本文给出算法、三次多项式插值法、正交多项式插值法。

图4 图2进行的检测结果Fig.4 The detection results of Fig.2

4 结束语

本文通过ENO非线性插值算法，对植物根系图像的亚像素边缘检测方法进行了研究。该算法先进行图像边缘检测，然后利用ENO四阶插值细分进行去噪，最后在对去噪后的图像进行边缘信息的重构。本文提出的算法与其他2种插值算法相比较，当期望获得准确的边界时，ENO方法要好于其余方法。基于正交多项式插值检测算法对边缘产生了较高比例的图像损坏和模糊效果；而基于三次多项式插值检测算法产生了或扩散或光滑的效果；仿真结果表明本文给出的基于ENO插值的检测算法因为有均匀的响应，因而在保留图像维度和图形方向有更好表现，不仅提高了图像的边缘检测能力，而且可以一定程度地克服噪声干扰。

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A nonlinear quartic image interpolation based subpixel edge detection algorithm

WU Peng，XU Hongling，SONG Wenlong，CAO Jun
（College of Mechanical and Electronic Engineering，Northeast Forestry University，Harbin 150040，China）

To improve the accuracy of digital image edge detection，this paper proposed an ENO nonlinear quartic interpolation and Canny operators based subpixel edge detection algorithm.A model was constructed with classical Canny operator，followed by processing gray images to generate gradient images.ENO nonlinear quartic interpola⁃tion was applied in the gradient direction of target edges，and then subpixel subdivision computation was performed to obtain subpixel accurate locations of target edges.Finally，the performance of our edge detection algorithm was compared with that of ortho⁃polynomial or cubic polynomial based edge detection methods.Simulation results dem⁃onstrated that the abilities of the ENO based interpolation detection algorithm is improved，and the noise interfer⁃ence，to a certain extent，can also be overcome.

edge detection；subpixel；ENO interpolation；Canny operators

10.3969／j.issn.1006⁃7043.201312057

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006⁃7043.201312057.html

TP391.4

A

1006⁃7043（2015）02⁃0243⁃05

2013⁃12⁃19.网络出版时间：2014⁃11⁃27.

国家自然科学基金面上基金资助项目（31270757）；黑龙江省自然科学基金面上基金资助项目（C201337）；哈尔滨市科技创新人才研究专项资金资助项目（2014RFQXJ127）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（2572014CB14）。

吴鹏（1980⁃），男，副教授，硕士生导师；

宋文龙（1973⁃），男，教授，博士生导师.

宋文龙，E⁃mail：wlsong139＠163.com.