控制增益符号未知的非线性系统执行器故障补偿

吴跃飞，马大为，姚建勇，乐贵高

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京210094）

控制增益符号未知的非线性系统执行器故障补偿

吴跃飞，马大为，姚建勇，乐贵高

（南京理工大学机械工程学院，江苏南京210094）

针对一类具有方向未知的不确定增益函数和未知执行器故障的不确定非线性系统，将Nussbaum函数增益与自适应输出反馈设计相结合，提出一种自适应鲁棒非线性容错控制方案。本方案无需精确获得执行器故障信息，并通过引入控制参数在线自适应调整技术，使得控制器对参数、干扰以及故障变化具有很强的鲁棒性，采用Nussbaum增益方法放松了对高频增益符号已知的假设，利用鲁棒项抵补偿自适应逼近误差和未知外界干扰的影响，通过李雅普诺夫方法从理论上严格证明了整个闭环系统信号的有界性和渐进的输出跟踪。仿真结果验证了该方法的有效性。

执行器故障；高增益状态观测器；自适应鲁棒控制；不确定；Nussbaum增益

许多结构复杂、先进的系统在长期的运行过程中，系统的部件不可避免会发生故障。系统在运行过程中出现故障时，容错控制可以自动补偿故障的影响，从而保证系统的运行稳定可靠［1］。近年来，容错控制的研究引起了很多学者的关注，不同学者为线性和非线性系统都提出了故障补偿方案。这些文献中采取的故障补偿方法大体有以下几种：故障检测与诊断、鲁棒控制方法、自适应设计等［2⁃3］。自适应控制与前2种方法相比，自适应控制不需精确得知被控对象故障的显式信息，使用自适应的方法解决执行器故障问题在近年来取得了一些有意义的成果。文献［4］采用自适应观测器同时实现未知参数、系统故障和系统状态的估计。文献［5］针对系统执行器故障、参数不确定以及外干扰作用的严格反馈非线性系统控制问题，利用自适应控制法设计了一种状态跟踪容错控制器。文献［6］基于矩阵不等式技术提出了一种非线性鲁棒容错控制设计方法，实现非线性不确定系统在执行器故障情况下的状态跟踪控制。文献［7］利用反步方法给出了带有执行器故障的非线性系统的自适应控制设计。文献［8］研究了一类自适应观测器的故障估计问题，但是仅是针对定常的执行器故障而言，对时变的情况没有涉及。

文献［9］提出的Nussbaum增益技术为处理控制增益符号未知系统提供了一种有效的设计方法。结合Nussbaum增益和高增益K-滤波器技术［10］，提出了鲁棒自适应输出反馈控制方法；但是该方法只针不确定非线性已知或可线性参数化的非线性系统。

针对上述问题，考虑一类控制系数和扰动均完全未知的不确定非线性系统，将Nussbaum增益函数与自适应输出反馈方法相结合，提出一种非线性自适应鲁棒容错控制方案，利用Lyapunov函数及相关引理，证明了所提出的控制策略可保证最终的闭环系统中的所有信号半全局一致最终有界。

1 系统描述

考虑如下不确定非线性系统：

式中：ρ＝n-m，y∈R是系统的可量测输出；uj∈R为系统控制输入；ai，bi，j为未知常数；φ（y），fi，j（y），βj（y）是已知函数，βj（y）≠0；Δi（x）为未知不确定项。

假设1：系统1中至多有q-1个执行器发生故障。

假设2：系统的状态变量x1可测，扰动Δi满足

式中：ψm为未知常数。

设在t时刻，设发生故障的执行器其故障模式为

其中，u

j为执行器发生故障时的故障值，0＜ηj＜1。

2 控制器设计

2.1 观测器设计

令u∗＝ujβ（y），由故障模式可知，系统控制输入uj可设计成

式中：0≤σj≤1，式（1）可以表示成：

式中：

为了减少滤波器的动态阶数，引入以下滤波器：

其中：j＝1，2，…，p；q＝［q1q2…qn］T，L＝diag（1，l，…，ln-1）。l的变化律选取如下：

其中κ为正常数增益，γ（y）为非负平滑函数。

令滤波器的状态量νi，ψi，j如下：

定义状态观测误差x～＝x-x＾，则［10］：

由式（9）和式（10）可知：

设计增益q1，q2…，qn，使状态矩阵A-qcT的特征值均在左半开复平面，则存在正定矩阵P，使

成立。

定义Lyapunov函数：

通过γ1的选取使L-1F（y）L≤γ1（y）成立，可得

通过正常数σ1、σ2的选取使得下式成立［13］：

对Vx求导可得：

令κ≥（1-l-2μ）／（2σ2），γ（y）≥2‖P‖γ1（y）／σ1≥0成立，可得

2.2 控制器设计

系统状态y·可由滤波信号取代：

式中：

定义误差系统如下：

式中：vm，i为实际控制输入，αi-1为虚拟镇定函数。

1）对z1求导可得：

为此取虚拟控制律如下

2）对z2求导可得：

定义βi如下：

选择如下的控制律：

定义Lyapunov函数：

式（30）中两端都乘以exp（C0t），再对其积分可得

对式（34），应用引理1可知：Vn（t）、k（t）与在［0，t］区间内保持有界，可得zi（t），…，zρ，N（k）在［0，t］内保持有界，系统的状态xi（t）半全局一致有界，对任意的

从式（36）可以看出，该控制方法通过设置C0和D来限制系统状态z1的幅值大小，从而可以确保系统跟踪误差始终处于一个任意小的界内。

3 仿真

考虑如下不确定非线性系统：

式中：ai，b0，j是未知常数，i＝1，2，3，4，j＝1，2，仿真参数如下：a1＝12，a2＝-1，a3＝1，a4＝-1，b01＝1，b02＝0.3，β1（y）＝β2（y）＝1+｜ycos y｜，Δ1＝0.05sin t，Δ2＝0.05cos t，参考信号yd＝0.5sin（t），取N（k）＝k2cos k；控制器的参数如下：Γ＝diag（10，10，5，5，1，1，1，1，1），q＝［1 1］T，rψ＝1.5，μ＝1，κ＝0.5，δ1＝1，δ2＝0.5，c1＝12，c2＝5，k（0）＝0，γ（y）＝1.6y2，θ＾0()＝diag（0，0，0，0，5，-0.4，0.4，-0.5，0.5）。

情况1：无故障。

在无故障条件下，通过仿真研究检验上述容错控制方法对设定值的追踪能力。初始状态x＝［0 1］T，其他参数同上，仿真结果如图1～2所示。图1表示无故障条件下，系统的跟踪响应图。图2则表示N（k）及其参数k的自适应曲线。响应曲线显示了故障容错控制在无故障条件下具有很好控制效果。

图1 跟踪曲线Fig.1 Tracking curve

图2 参数k和Nussbaum增益N（k）Fig.2 Parameter k and Nussbaum gain N（k）

情况2：时变故障仿真结果。

选取如下的执行器故障模式：

式中：u-

1＝6，d21＝0.5sin t，δ1＝0.5cos t。

在仿真中，初始条件取为x＝［0 0］T，其他参数同上。图3为跟踪误差曲线，图4为相应的控制变量的响应性能图线，通过控制变量的改变来弥补故障的影响，使得系统在发生故障后仍能及时恢复系统的跟踪性能指标。

图3 跟踪误差曲线Fig.3 Tracking error curve

图4 控制输入信号Fig.4 Control input curve

4 结论

针对具有方向未知的不确定增益函数和未知执行器故障的不确定非线性系统，本文提供了自适应鲁棒容错控制方案。通过引入新的动态高增益K⁃滤波器，构造了基于此滤波器的恰当状态观测器，并且利用反推法成功地设计了输出反馈控制器。所设计的控制器不需要故障的精确信息，从而提高了工程应用价值。结果表明，通过选择恰当的设计参数，闭环系统的所有状态都是有界的，并且，当时间足够大时，跟踪误差收敛到零点的既定小邻域内。

［1］JIANG B，CHOWDHURY F N.Parameter fault detection and estimation of a class of nonlinear systems using observers［J］.Journal of the Franklin Institute，2005，342（7）：725⁃736.

［2］MICHAEL A，DEMET R.Using unknown input observers for robust adaptive fault detection in vector second⁃order systems［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2005，19（2）：291⁃309.

［3］YAN X，EDWARDS C.Nonlinear robust fault reconstruction and estimation using a sliding mode observer［J］.Automati⁃ca，2007，43：1605⁃1614.

［4］CHEN W，SAIF M.Observer⁃based strategies for actuator fault detection，isolation and estimation for certain class of uncertain nonlinear systems［J］.IET Control Theory Appli⁃cation，2007，1（6）：1672⁃1680.

［5］TANG X D，TAO G，JOSHI S M.Adaptive actuator failure compensation for MIMO systems with an aircraft control ap⁃plication［J］.Automatica，2007，43（11）：1869⁃1883.

［6］陈雪芹，耿云海，张世杰.基于混合H2／H∞的集成故障诊断与容错控制研究［J］.宇航学报，2008，28（4）：890⁃897.CHEN Xueqin，GENG Yunhai，ZHANG Shijie.A mixed H2／H∞approach to integrated fault diagnostic and fault⁃toler⁃ant control［J］.Journal of Astronautics，2008，28（4）：891⁃897.

［7］WILLIAMSON W R，SPEYER J L，DANG V T，et al.Fault detection and isolation for deep space satellites［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，2009，32（5）：1570⁃1584.

［8］ZHANG Y，JOE Q S.Adaptive actuator failure compensation for linear systems with matching and unmatching uncertain⁃ties［J］.Journal of Processing Control，2009，19（6）：985⁃ 990.

［9］杜佳璐，于双和，郭晨，等，一类控制系数有界的时变非线性系统的自适应鲁棒控制［J］.控制理论与应用，2012.29（3）：375⁃379.DU Jialu，YU Shuanghe，GUO Chen，et al.Adaptive robust control of a class of nonlinear systems with time⁃varying pa⁃rameters and bounded control coefficient［J］.Control Theory and Applications，2012.29（3）：375⁃379

［10］XU Z，YAN L.Adaptive output feedback tracking for a class of nonlinear systems［J］.Automatica，2012，45（5）：1029⁃1039.

Actuator failure compensation for the uncertain nonlinear system with unknown control gain signs

WU Yuefei，MA Dawei，YAO Jianyong，LE Guigao
（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，China）

This paper designed an adaptive robust nonlinear fault tolerant control program was designed for a class of uncertain nonlinear systems with unknown virtual control gain nonlinearities and unknown actuator failures，incorpo⁃rating Nussbaum function gain with adaptive output feedback design tools.This design method does not require the real value of the actuator failure，and by introducing adaptive online adjustment technology of control parameters，the great robustness against fault and interference is guaranteed.Moreover，the control parameters are adjusted dy⁃namically in such a fashion that it does not need fault detection.The assumption on the known high⁃frequency gain signs was loosened with Nussbaum function gain approach，and the influence from adaptive approximation error and unknown external interference is compensated by robustness item.The boundedness of all the closed⁃loop signals and the asymptotic output tracking are proven strictly by the Lyapunov method.The simulation results validated the effectiveness of the proposed design method.

actuator failure；high gain state observer；adaptive robust control；uncertainty；Nussbaum gain

10.3969／j.issn.1006⁃7043.201310018

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006⁃7043.201310018.html

TP273

A

1006⁃7043（2015）02⁃0232⁃05

2013⁃08⁃10.网络出版时间：2014⁃11⁃27.

国家自然科学基金资助项目（51305203）；“十二五”国防基础科研项目（B2620110005）.

吴跃飞（1988⁃），男，博士研究生；马大为（1950⁃），男，教授，博士生导师.

吴跃飞，E⁃mail：wuyuefei12345＠163.com