基于结构张量扩散的改进PDE滤波算法

王益艳，肖 丹，钟 超，胥 菲，田惠珍

(四川文理学院 物理与机电工程学院，四川 达州 635000)

基于结构张量扩散的改进PDE滤波算法

王益艳，肖 丹，钟 超，胥 菲，田惠珍

(四川文理学院 物理与机电工程学院，四川 达州 635000)

从扩散的角度分析了图像处理中传统热扩散和PM模型的不足，提出了一种各向异性的改进PDE滤波算法.该算法利用图像的结构张量信息和局部特征，自适应选取扩散系数，在图像平坦区域，具有各向同性扩散；而在图像边缘处，则只沿着切向扩散.实验结果表明，该算法具有良好的滤波性能，在滤波的同时可有效保护边缘细节，对灰度图像特别是医学图像，相对于传统方法，该算法可以获得更好的主观视觉效果和客观性能评价指标.

图像滤波；偏微分方程；各向异性；扩散系数；结构张量

图像在获取和传输过程中，往往受到各种噪声的影响而使图像质量退化.为了方便图像的后续处理(如边缘检测、图像分割、图像识别等)[1]，图像滤波成了图像预处理的关键环节.传统的滤波方法包括均值滤波、高斯平滑滤波等[2]，均值滤波是以像素邻域内的平均值替代当前像素点的值，而高斯平滑滤波考虑了像素间距离的相似性，以高斯函数为模版，对图像进行加权平均处理.然而，这2种方法都是线性的，在去除噪声的同时，会导致图像的边缘模糊.近年来，基于偏微分方程(PDE)的图像处理成为人们研究的热点课题，包括图像滤波、放大、修复和分割等[3-5]，其良好的处理效果已引起国内外学者的持续关注.热扩散和PM模型就是其中的典型代表[6-7].从扩散的角度分析，热扩散模型在梯度方向和边缘方向具有同等扩散，即各向同性的.因此，该模型在平滑噪声的同时，会模糊图像的细节[8].PM模型根据图像的梯度信息，设计合适的扩散系数，具有各向异性扩散性能.但PM模型在图像平坦区域容易产生“块”效应[9]，且无法滤除边界上的噪声.

基于此，本文提出一种各向异性的改进PDE滤波算法.该算法利用图像的结构张量信息和局部特征，构造了一种自适应扩散函数.在图像平坦区域，梯度和切线2个方向具有同等扩散，而在图像边缘处，则只沿着切线方向扩散.同时，还引入数据保真项，在滤波过程中可更好地保护图像细节.仿真实验结果表明，该模型具有良好的滤波性能，与传统滤波方法相比，对灰度图像特别是医学图像，在同等测试条件下，该方法对应的峰值信噪比(PSNR)值更高，均方根误差(RMSE)更小，同时比传统PDE扩散模型收敛所需的迭代次数也更少.

1 2种经典PDE模型

1.1 热扩散模型

扩散起源于物理学，将介质从高浓度区域向低浓度区域转化的过程称为扩散.对二维图像而言，标准的热扩散方程[6]可表示为：

(1)

(2)

上式中，ux和uy分别表示u在x和y方向上的偏导数.通过坐标变换，可将(1)式改写为下面的形式：

(3)

其中uηη和uξξ分别表示u在η和ξ方向上的二阶导数，表达式如下：

(4)

(5)

由(3)式可以看出，热扩散模型在梯度方向η和切线方向ξ具有各向同性扩散.因此，该模型在平滑噪声的同时，会模糊图像的细节[8].

1.2PM扩散模型

为克服热扩散方程的缺点，Perona和Malik提出了非线性扩散方程(以下简称PM扩散方程)[7]：

(6)

(7)

其中x≥0，阈值参数τ的取值可以人工给定，也可按照Canny直方图估计方法[10]求得.

通过坐标变换，可将(6)式改写为以下形式：

(8)

2 本文方法

根据上节可知，热扩散模型在梯度方向和切线方向具有相同的扩散，而PM模型虽然在2个方向上都有不同扩散，但由于其解的不适定性，使得不同的参数设置可能会导致方程产生完全不同的结果.基于此，本文提出改进的各向异性PDE扩散模型：

(9)

其中，k1和k2分别表示沿梯度和切线2个方向的扩散系数，k1,k2∈[0,1].为方便起见，令k1+k2=1，且k1=κ，则(9)式可改写为

(10)

(11)

其函数变化曲线如图2.

式(11)中扩散系数κ的自变量选取直接影响到最终的滤波效果.结构张量[12-13]常用来估计图像结构方向场和分析图像局部几何结构.为此，本文提出如下基于结构张量的各向异性扩散系数.

对于给定的图像u(x,y)，其局部结构信息不仅表现为图像的梯度.利用如下定义的海森矩阵(Hessian matrix)，可以获取更丰富的局部结构信息[14]：

(13)

(14)

它们对应的特征向量分别为μ1和μ2，可表示为：

(15)

角度θ是最小特征值对应的特征向量与水平方向之间的夹角：

(16)

在图像的平坦区域，结构张量的扩散速度较慢，具有较弱的方向一致性，I1≈I2≈0；在图像边缘区域，局部能量较大，方向一致性较好，I1≫I2≈0.因此，本文构造扩散系数κ为：

(17)

同时，为了更好地保持图像的细节，引入数据保真项，则(10)式变为：

(18)

上式中，uηη和uξξ分别表示u在梯度η和切线ξ方向上的二阶导数，其表达式如前面(4)式和(5)式；u0为观测图像，u为原始真实图像；λ为拉格朗日乘子，对扩散项和数据保真项起到平衡作用.

由上述分析可知，与2种经典的PDE扩散模型相比，本文方法不但在梯度和切线2个方向上都具有不同的扩散，并且充分考虑了图像局部结构特征，可自适应选取扩散系数，对于灰度渐变区该方法能更好地进行平滑，可有效避免“块”效应.

3 实验结果与分析

3.1 数值实现

(19)

(20)

(21)

(22)

综上分析，本文算法具体步骤如算法1所示.

算法1 基于结构张量扩散的各向异性PDE滤波算法:

首先初始化u0，对(22)式进行n次迭代，具体过程如下：

(b)再由(19)～(21)式计算(12)式中的J；

(c)由J可计算(13)和(14)中的I1，I2；

(d)将I1，I2代入(17)式计算扩散系数κ;

3.2 仿真结果

为了验证本文方法的有效性，我们进行了大量仿真实验，并以均方根误差(RMSE)和峰值信噪比(PSNR)作为滤波性能的客观评价指标.其表达式分别为：

(23)

(24)

式中，x是大小为M×N像素的原始图像，y是滤波后的图像.PSNR值越大，RMSE值越小，图像滤波效果越好.

对灰度图像“house”和医学图像“Cone beam CT”加入一定程度的高斯噪声，分别采用传统均值滤波、高斯平滑滤波、热扩散模型、PM扩散模型和本文方法对其进行处理，实验结果如图3、4所示.表1给出了不同测试条件下，各种方法对应的RMSE值和PSNR值比较结果，图5给出了不同测试条件下，后3种扩散模型对应的迭代次数比较结果.

从图3～4看出，传统均值滤波、高斯平滑滤波和热扩散模型在滤波的同时模糊了部分图像细节，PM模型虽然滤波性能相对有所提高，但在平坦区域仍存在一定程度的“块”效应.本文方法既能有效平滑平坦区域的噪声，而且与前几种模型相比，也能较好保护图像的边缘细节.另一方面，本文方法对应的客观性能评价指标优于其他几种传统方法(见表1)，从图5看出，本文所需的迭代次数也明显少于热扩散模型和PM模型.这进一步说明了本文方法的优越性.

表1 各种滤波方法在不同测试条件下对应 的RMSE值和PSNR值(dB)比较

图5为不同测试条件下，3种PDE扩散模型对应的迭代次数比较.

4 结语

本文在分析传统经典扩散模型不足的基础上，提出了一种改进PDE滤波算法.该方法利用图像结构张量信息和局部特征，构建了一种自适应的扩散系数，实现了对图像不同区域的各向异性滤波.最后通过仿真对比实验，验证了本文方法的有效性和优越性.关于模型参数的选取及该模型在彩色图像中的应用将是今后研究的重点.

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(责任编辑 庄红林)

An improved PDE filtering algorithm based on the structure tensor diffusion

WANG Yi-yan,XIAO Dan,ZHONG Chao,XU Fei,TIAN Hui-zhen

(School of Physics and Mechanical and Electronic Engineering,Sichuan University of Arts and Science,Dazhou 635000,China)

The drawbacks of heat diffusion and PM model are analyzed from the view of diffusion. Then an improved anisotropic filtering algorithm based PDE is proposed. The proposed algorithm can select diffusion coefficients adaptively according to the structure tensor information and local features of the image; in the flat region of the image, diffusion will be executed with equal spread both along the gradient and tangential, while on the edge of the image, diffusion will be executed only along the tangential. The experimental results demonstrate that the proposed algorithm has good filtering performance, which can preserve edge details effectively during denoising. Meanwhile, for both gray image and medical image, the proposed algorithm is superior to the conventional methods in the aspect of objective performance evaluation and subjective visual effect.

image filtering;partial differential equations;anisotropy;diffusion coefficient;structure tensor

2014-06-26.

四川省教育厅一般科研项目(13ZB0098);四川文理学院大学生科研项目(X2013Z006).

王益艳(1982-)，男，硕士，讲师.主要研究方向：图像处理与模式识别.

TP391.9

A

1672-8513(2015)01-0057-05