基于压缩感知的图像水印算法研究

李 晨，和晓萍，周卫红

(云南民族大学 数学与计算机科学学院，云南 昆明 650500)

基于压缩感知的图像水印算法研究

李 晨，和晓萍，周卫红

(云南民族大学 数学与计算机科学学院，云南 昆明 650500)

提出一种基于压缩感知和非采样Contourlet变换的数字图像水印算法.首先使用NSCT变换对载体图像进行稀疏分解，对低频系数矩阵进行Arnold置乱；然后采用高斯观测矩阵对系数矩阵进行压缩感知测量，在感知域(压缩信号)中进行水印嵌入；最后使用OMP算法恢复重组的低频矩阵信号，使用NSCT逆变换重构图像.算法中，测量矩阵同时充当了密钥的作用，增强了算法的安全性，此外Arnold变换也增强了水印的不可见性和安全性.仿真实验证明，所提算法对加噪、滤波、旋转具有较高的鲁棒性.

数字水印；压缩感知；NSCT变换；OMP算法

数字水印技术依据水印信息的嵌入位置可以分为2类，一类是以LSB(最低有效位)算法[1-2]和回声掩蔽算法[3]作为代表的时空域水印算法，该类算法具有操作简单且运算速度较快的优点，但嵌入量较小，鲁棒性较差，易受到攻击；另一类算法是以DFT(离散傅立里叶变换)、DCT(离散余弦变换)以及DWT(离散小波变换)[4]等算法作为代表的变换域水印算法.这类算法通常是通过改变信号的变换域系数作为水印嵌入的前提，其优点是抗攻击的能力比较强，即使水印的信息量较大，嵌入后，仍具有不可见性.

压缩感知是近年来新兴的一种信号获取技术，也被称为压缩传感或压缩采样，是一种利用信号稀疏性进行信号重建的技术.通过在信号采样时压缩降低其信息量，从而降低了采样率[5].将压缩感知应用到数字水印当中，具有较大的优越性[6-12].首先，基于压缩感知的数字水印算法可使水印提取准确，增大鲁棒性，使其适应多重攻击，对于维护图像版权具有重要意义.其次，压缩感知处理后，图像中的水印具有2个优点：①压缩感知的加密性，由于测量矩阵具有多样性和压缩比具有可调节性的特点，能够有效地提高整个加密过程的安全性，如果侵入方并不知道密钥(测量矩阵)，那么水印几乎是不可提取的，这样能够有效防止对水印的恶意篡改和提取，保护原作者的版权；②由于压缩采样的原因，对于同样的水印在进行压缩后，其有效信息量要明显比原来的信息量少，若嵌入图像中的水印信息量减少，那么在水印嵌入后，对于原图像的视觉效果影响就能减小.

1 压缩感知理论的基本原理及数学模型

以奈奎斯特采样定理为基础的传统信号采样采样方法不仅存在着硬件成本高、采集效率低等缺点，而且对于数据的压缩及传输都造成了很大程度的资源浪费.2004年，Tao等提出了一种新型信息提取理论，即压缩感知理论(compressed sensing，CS).压缩感知理论可以避开高速采样，降低采样速率和数据存储的成本，克服传统信号处理中的限制和浪费，在信号恢复过程中，采用信号观测矩阵，由一个非线性优化的问题进行恢复.

假设某一信号x，且x∈RN,某一组正交基为ψi，其中i=1,2，…，N，将信号x在正交基下展开：

(1)

其中αi=〈x,ψi〉,以矩阵的形式可以表示为：

x=Ψα.

(2)

y=Φx.

(3)

其中y(y∈RM)是信号x中的M个线性观测，将(2)式代入(3)式，通过优化算法进行信号重建，就可以从y中恢复信号x，过程如图1所示.

1.1 信号的稀疏性表示

压缩感知理论中所指的可压缩信号是指在某个变换域下近似稀疏.在(1)式中，若α只有除S个最大值外其余元素都是0，或者说α经过指数级衰减排序后趋近于0，那么该向量在严格意义上来说是稀疏的，称之为S-稀疏.在满足重构条件的情况下，通过统计理论和组合优化理论可知，若将S-稀疏信号精确恢复，则仅需要S+1次的观测.对于随机高斯和随机±1的Rademacher观测矩阵，O(Slog(N/S))的采样就能将N维信号的S个最大值以较高的概率稳定重建[8].因此若在字典矩阵下表示的信号能够表现出稀疏性，那么，我们在重构信号时，就可以只用到少量的观测数目，即使重构信号的要求比较精确.所以说，稀疏表示系统的设计归结为稀疏字典Ψ的设计.目前常用的字典有框架字典、正交基字典、级联字典和自适应字典.

1.2 观测矩阵构造

观测矩阵的构造是压缩感知的关键所在.首先，将(2)式代入(3)式，可得到：

y=ΦΨα=ACSα.

(4)

其中，ACS称为CS的信息算子，且ACS=ΦΨ，在这种情况下，只要证明矩阵ACS中有系数向量可以满足(4)式的成立，即满足RIP条件，对于某个ε，有

(5)

其中，v是指与原始信号具有同样稀疏度的向量，RIP条件同样要求矩阵的不相关性，这样我们就可以重建原信号.在设计观测矩阵时，必须要考虑以下3个方面：①是观测波形是否有利于信息算子具有良好的品质；②是要满足矩阵或者字典具有不相关性；③是测量波形是否满足计算时间快，数据量储存低等优势.本文在运用压缩矩阵理论对图像进行处理时，采用高斯随机矩阵进行观测.

1.3 信号恢复的算法

1.4 NSCT变换

NSCT是一种非采样Contourlet变换，是由Do和Vetterli于2005年提出的.它能够解决Contourlet变换所缺乏的平移不变性.首先，NSCT变换采用非采样塔式滤波器 (nonsubsampled pyramid filter bank，NSPFB)对图像信号进行多尺度分解，其次，NSCT变换使用非采样方向滤波器(nonsubsampled directional filter bank，NSDFB)对图像分解后产生的高频子带进行方向性分解.NSCT 变换的核心部分就是非采样方向滤波器，它的基本原理是将信号通过方向滤波器时，分别对其进行上下采样，也就是说在分解信号时，先对其进行上采样，随后进行信号的分解和过滤，这样析出的信号可以直接进入下一层滤波器，这样做的优点在于可以省去中间滤波器的采样信号，节省信号的存储空间，并且原图像和每层分解后的子带图像信号能够基本保持一致[10].

1.5 数字水印的性能评价及攻击分析

水印的不可见性一般采用PSNR(峰值信噪比)进行衡量，峰值信噪比值越高，说明水印不可见性越好.如果A表示原始图像，B代表嵌入水印的图像，峰值信噪比计算公式为:

(6)

(7)

2 水印的提取与嵌入算法描述

2.1 水印的嵌入过程

1) 将原图像A使用NSCT变换分解，实现稀疏分解，得到低频系数矩阵x；

2) 读取水印图像w并降维，对低频系数矩阵进行m次Arnold变换，得到置乱矩阵x′；

3) 用高斯随机数生成观测矩阵B与置乱矩阵x′相乘，生成观测域压缩信号Y；

4) 将水印图像乘以嵌入强度α加入到观测域信号Y，得到带水印信息的信号A′,压缩公式如下：

A′=Y+αw.

(8)

5) 将含水印信息的信号A′使用OMP算法计算重构，得到带水印信息的稀疏信号A″;

6) 对稀疏信号A″进行T-m次Arnold变换(T为Arnold变换周期数)，随后使用NSCT逆变换得到含水印信息的图像C.

2.2 水印提取过程

水印的提取过程步骤如下：

1) 读取载体图像A和含水印图像C,同时对2图像进行NSCT分解，分别提取分解后的低频系数矩阵x和y；

2) 对矩阵x，y进行m次的Arnold变换，同时用观测矩阵B进行感知压缩，生成观测域信号x′,y′；

3) 由观测域信号x′,y′提取水印信息，如式(9).

w′=(y′-x′)/α.

(9)

3 实验结果及分析

本文所用仿真平台为Matlab 2010b,载体图像为512×512像素大小的Lena图像，水印图像为64×64像素大小的云南民族大学的标志二值图像，嵌入强度设为0.2，实验结果如图2所示.

为了更好的说明本文算法的传输保密性以及攻击鲁棒性，对新算法使用未观测提取、高斯随机矩阵观测提取、噪声、滤波、旋转以及JPEG压缩进行攻击实验.其中高斯随机观测矩阵提取实验使用新生成的高斯观测矩阵对含水印图像进行观测压缩，随后进行水印提取，其实验结果如表1所示：

表1 本文算法实验结果

文献[11]提出了一种基于NSCT和SVD相结合的数字水印嵌入算法，将本文算法与文献[11]算法做噪声、滤波、旋转以及JPEG压缩攻击实验，实验结果对比如表2所示.

表2 对比实验结果

从表1、2可以看出，本文算法在噪声、滤波、旋转以及JPEG攻击方面，鲁棒性要略差于文献[11]所提算法.这是由于本文算法在水印嵌入还原载体图像时所用的OMP算法对NSCT低频子带系数恢复并不是完全数据恢复，而是一种近似恢复，而低频子带图像主要集中了待还原载体图像的细节信息，低频子带信息还原时的不精确性导致了含水印图像还原后与未含水印载体图像之间差异的增大，从而影响了后续水印提取的精确性.但由于本文算法使用了高斯随机矩阵构建观测压缩矩阵，由压缩矩阵对载体图像进行观测压缩，这使得水印信息在嵌入载体图像后传输方面较文献[11]所用的算法具有更好的安全性，可有效防止未授权单位对水印信息的提取.

4 结语

通过仿真实验可以看出，本文所提出的基于压缩感知与NSCT变换相结合的数字水印算法，由于使用了随机高斯矩阵对低频子带的观测压缩，从而对载体图像进行更进一步的加密防护，使水印嵌入后具有更好的保密性，可有效防止未授权单位对水印的恶意提取，同时对噪声、滤波、旋转以及JPEG压缩攻击具有较好的鲁棒性.

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(责任编辑 庄红林)

Research on an image watermarking algorithm based on compressed sensing

LI Chen,HE Xiao-ping,ZHOU Wei-hong

(School of Mathematics and Computer Science,Yunnan Minzu University,Kunming 650504,China)

This paper proposes a new algorithm based on Non-sampling Contourlet Transform(NSCT)and Compressed Sensing(CS)to improve the watermarking’s attack robustness.First,it uses NSCT to transform the image and scramble the low-frequency coefficients by Arnold scrambling,then it uses the compressed sensing for the low-frequency matrix of scrambling the watermark embedded in the compressed signal;it finally recovers the reorganization of the low-frequency matrix signal by OMP algorithm, and uses NSCT inverse transformation to reconstruct it.Experimental results show that the new algorithm has a high robustness in noise,filtering and rotation.

digital watermarking;compressed sensing;NSCT;OMP

2014-06-23.

国家民委科研项目(12YNZ008)；云南省教育厅科学研究基金(2012Y315).

李晨(1988-)，女，硕士.主要研究方向：数字图像处理与模式识别.

周卫红(1969-)，男，博士研究生，副教授，硕士生导师.主要研究方向：图像处理与模式识别.

TP309.7

A

1672-8513(2015)01-0048-04