一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性

张永玲

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

一类高阶有理差分方程的全局渐近稳定性

张永玲

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

正平衡点；不变区间；全局吸引子；全局渐近稳定

研究有理差分方程

(1)

通过变量变换xn=βyn转化为

(2)

下文主要研究方程(1)的全局渐近稳定性.

1 预备知识

(3)

它的特征方程是

且

且

引理1 对于差分方程

则

是方程

xn+1=mxn+nxn-k,n=0,1,2,…，

局部渐近稳定性成立的充分条件.

引理2 考虑差分方程

满足以下条件

2 主要结论

设

则有

可得到m=-n.

由定义3知，方程(3)在平衡点处的线性方程为

特征方程为

证明:

(4)

定理证毕.

定理2 方程(2)有正的素二周期解.

证明:以下将考虑方程(2)的正的素二周期解.令…,φ,ψ,φ,ψ,…是方程(2)的一个素二周期解，φ和ψ是2个不相同的正整数.

如果k是偶数，那么yn=yn-k，则φ和ψ满足以下条件

1) 若q-1<0，则φψ<0，无非负素二周期解，故舍去；

2) 若q-1>0，则rq-pq-r-3p≥0，方程(2)有素二周期解.

综上所述，当且仅当k是奇数，rq-pq-r-3p≥0时，方程的素二周期解存在且唯一.

定理3 方程(2)的所有正解都有界.

对所有n≥0成立.

然后

对所有n≥k成立.定理得证.

定理4 (a)假设B≥Aα，f(x,y)那么是对每一个y关于x是递增的，且f(x,y)对每一个x关于y是递减的；

(5)

根据上面的结论和定义4，得到下面的引理.

引理3 假设

定理5 方程(1)有以下不变区间:

得到

故

有

故

有

故

所以

故

下面讨论方程(1)的全局渐近稳定性

以下讨论由引理4得出的5种情形下的全局吸引子.

等价于

Am2+BmM=m+αM，

AM2+BmM=M+αm，

则

又由

得到

根据定义2，定理1和定理6，得到下面的定理:

[1]KULENOVICMRS,LADASG,PROKUPNR.Arationaldifferenceequation[J].ComputersandMathematicswithApplications,2001(41): 671-678.

[2]TANGGuo-mei，HULi-xia,JIAXiu-mei.Dynamicsofahigher-ordernonlineardifferenceequation[J].DiscreteDynamicsinNatureandSociety， 2010，ArticleID534947.

[3]JIAXiu-mei,LIWan-tong.Boundednessandglobalattractivityofahigher-ordernonlineardifferenceequation[J].DiscreteDynamicsinNatureandSociety， 2010，ArticleID610467.

[5] DEHGHAN M, MAZROOEI-SEBDANI R.Dynamics of high-order rational difference equation[J].Applied Mathematics and Computation,2006,178:345-354.

[6] JIA Xiu-mei,HU Liu-xia,LI Wan-hong.Dynamics of a rational difference equation [J]. Discrete Dynamics in Nature and Society，2010,Aeticle ID 970720.

[7] DEHGHAN M, RASTEGAR N.On the global behavior of a high-order rational difference equation[J].Computer Physics Communications,2009, 180 (6): 873-878.

[8] 梁璐莎，陈斯养.中立型Logistic差分方程的Flip分支[J].云南师范大学学报：自然科学版，2014，34(1)：41-47.

(责任编辑 梁志茂)

The global asymptotic stability of a higher-order difference equation

ZHANG Yong-ling

(School of Mathematics and Physics, Lanzhou Jiaotong University，Lanzhou 730070, China)

This paper investigates the local stability，prime period-two solutions，boundedness，invariant intervals，and the global asymptotic stability of all positive solutions of the following difference equation

positiveequilibriumpoint；invariantintervals；globalattractor；globalasymptoticstability

2014-03-06.

国家自然科学基金(11461039，11061018);国家自然基金甘肃省级联合基金(1212RJZA043);陇原青年创新人才支持计划(252003)；兰州交通大学青年基金(2011028).

张永玲(1988-)，女，硕士研究生. 主要研究方向：计算数学.

O

A

1672-8513(2014)06-0037-06