t-分布分位点的幂级数算法

2015-06-24孟健,白鹏

云南民族大学学报(自然科学版) 2015年1期

关键词：幂级数项数时用

孟健,白鹏

(云南财经大学统计与数学学院，云南昆明 650221)

t-分布分位点的幂级数算法

孟健,白鹏

(云南财经大学统计与数学学院，云南昆明 650221)

t-分布分位点；幂级数展开式；数学归纳法

众所周知，t-分布在数理统计的估计及假设检验理论中占据着重要的地位.而在相关统计推论中，或多或少地要涉及到其分位点的计算.之前的分位点计算方法主要有积分的近似算法[1]，方程求根的迭代算法[1]，利用分布函数之间的关系[1]及矩阵算法[2]等.

由数学分析[3]知识可知，一般的函数可以展开成幂级数的形式.统计计算[1]中也提到可以用幂级数来计算分位点，但具体如何实现仍是一个问题.本文首次根据幂级数方法构造了t-分布分位点的计算方法.记t-分布tγ的密度函数为

(1)

分布函数为

(2)

(3)

其中

(4)

1 主要结果

为了给出{ak,k=0,1,2,…}的递推表达式，现给出以下引理.

引理1 若记

k=0,1,2,….

则三者之间递推关系如下式

其中

证明：注意到

因此

(5)

而由(1)和(5)可得

因而

(6)

进而，由(5)式知

(7)

对(5)，(6)和(7)两边分别求k阶导数并求解可得

(8)

(9)

(10)

若记

(11)

则(8),(9)和(10)说明了

(12)

(13)

(14)

引理2 {ak,k=0,1,2,…}中的偶次项， {bk,k=0,1,2,…}和{ck,k=0,1,2,…}中的奇次项均为0.

证明：利用数学归纳法.

1) 计算可得a0=0,a2=0且b1=b3=0,c1=c3=0；

2) 假设当n

综上所述，可以证得{ak,k=0,1,2,…}中的偶次项，{bk,ck,k=0,1,2,…}的奇次项均为0.

2 算法仿真分析

下面给出当γ=1,5,20,50，1 000 时的部分结果.

利用程序可以计算(0,1)上任意数的t-分布分位数，在此本文给出部分结果，并将结果与Matlab软件[4]中自带的t-分布分位点函数的结果作为标准值进行比较，给出计算出标准值时所需最小的n值.

由表1～5中的结果可以看出，通过增加n总可以计算出所要求的数值，因此本文给出的方法是合理的.同时能够发现随着x在区间(0,1)上接近1时，n值会急速增大.

表1 当γ=1时用幂级数算法达到标准值所需最小项数

表2 当γ=5时用幂级数算法达到标准值所需最小项数

续表

x标准值计算值nx标准值计算值n0.60.26720.267220.931.75291.7529260.650.40820.408220.941.87271.8727320.70.55940.559430.952.0152.015330.750.72670.726750.962.1912.191560.80.91950.919560.972.42162.4216660.851.15581.1558110.982.75652.7565950.91.49591.4959170.993.36493.3649188

表3 当γ=20时用幂级数算法达到标准值所需最小项数

表4 当γ=50时用幂级数算法达到标准值所需最小项数

表5 当γ= 1 000 时用幂级数算法达到标准值所需最小项数

3 结论

其中B(a,b)为贝塔函数[1]：

由此可知，在实际运算中可以取前n项之和

[1] 高惠璇.统计计算[M].北京:北京大学出版社，1995：72-75.

[2] 郭海兵,吴晓坤.正态分位点的矩阵算法浅析[J].长沙航空职业技术学院学报，2004，4(2)：69-73.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社，1981：134-141.

[4] ABRAMOWITZ M,STWUN I A.Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables [M].Washington DC: Government Printing Office,1964,Ch26.6.2.

(责任编辑梁志茂)

An algorithm for the quantile oft-distribution with power series expansion

MENG Jian，BAI Peng

(School of Statistics and Mathematics,Yunnan University of Finance and Economics,Kunming 650221,China)