参数未知混沌系统的分段函数投影同步及参数辨识

连玉平，李德奎

(1．定西师范高等专科学校数学系，甘肃定西 743000；2．甘肃中医学院理科教学部，甘肃兰州 730000)

参数未知混沌系统的分段函数投影同步及参数辨识

连玉平，李德奎

(1．定西师范高等专科学校数学系，甘肃定西 743000；2．甘肃中医学院理科教学部，甘肃兰州 730000)

利用牵制控制技术，基于Lyapunov稳定性原理，设计自适应控制器和参数辨识法则，实现混沌系统的分段函数投影同步，对系统的未知参数进行辨识，数值仿真表明了控制器和参数辨识法则的有效性．

混沌系统；分段函数投影同步；参数辨识

混沌控制及其同步因其在通讯、信息科学、生物、医学、化学等领域的巨大应用价值，得到国内外广大学者的广泛关注，自从Pecora和Carroll提出[1]了两个混沌系统的同步概念以来，完全同步[2]、广义同步[3]、投影同步[4]等混沌同步方式先后被学者提出．最近，Hu等在文献[5-6]中深入研究了混沌系统的广义投影同步，文献[7-11]中通过自适应控制策略实现了动态网络模型的函数投影同步．分段函数投影同步是指响应系统的各状态变量和驱动系统的相应状态变量之间分别以不同的函数比例实现同步，相对于常数比例因子和函数投影同步，分段函数投影同步的同步方式更加复杂，应用分段函数投影同步实现保密通信，会使得通信信息更加安全．基于此，本文研究了参数未知混沌系统的分段函数投影，通过构造自适应控制器和未知参数的辨识法则，使得驱动系统和响应系统实现了分段函数的投影同步，数值仿真结果表明了控制器和参数辨识法则的有效性．

1 混沌系统

考虑一个n维混沌动力系统，将系统分成两部分，其中一部分不含系统参数，另一部分含有系统参数

其中x=(x1, x2,…,xn)T∈Rn是系统的状态向量，f:Rn→Rn是不含系统参数的向量函数，F: Rn→Rn×k是矩阵函数，θ是系统的k维参数向量．

以系统（1）作为驱动系统，任取一n维的响应混沌系统为：

其中y=(y1, y2,…,yn)T∈Rn是响应系统的状态向量，g: Rn→Rn非线性向量函数，u( x, y)是施加在响应系统上的自适应控制器．

2 分段函数投影同步

设驱动系统和响应系统之间的误差向量为：

其中α(t)是时间t的连续可微分段函数．

当矩阵α(t)分别为单位矩阵I和-I时，我们称驱动系统（1）和响应系统（2）分别实现完全同步和反同步．当矩阵α(t)分别为常对角矩阵α时，称驱动系统（1）和响应系统（2）分别实现投影同步．当对角矩阵α(t)对角线上的元素为函数（可以不是时间t的分段函数）时，称驱动系统（1）和响应系统（2）实现函数投影同步．因此，分段函数投影同步是函数投影同步的特殊情况．

根据驱动系统和响应系统的误差（3），可得驱动系统（1）和响应系统（2）之间的误差系统为：

为了实现驱动系统（1）和响应系统（2）的分段函数投影同步，利用牵制控制技术，设置如下的自适应控制器：

根据式（5），同步误差系统（4）进一步描述为：

若误差系统（6）的零解全局稳定，则驱动系统（1）和响应系统（2）的分段函数投影同步．

为了证明对任意的初值条件，误差e( t)的零解是全局渐近稳定的，构造Lyapunov函数为：

构造未知参数θ和η的辨识法则为：

根据式（6）和（8），则V对时间t的导数为：

根据Lyapunov稳定性定理，可知误差e( t)的零解是全局渐近稳定的，所以驱动系统（1）和响应系统（2）能够实现分段函数投影同步．

3 数值仿真

选取著名的Lorenz系统[12]作为驱动系统，其动力学方程为

当系统参数a=10、b=28、c=8/3时，Lorenz系统具有如图1所示的蝴蝶型混沌吸引子．

图1 Lorenz系统的混沌吸引子

以Lorenz系统[12]为驱动系统，根据（1）式，式（10）可写成如下形式：

假设驱动系统的参数a, b, c是未知的，应用参数辨识法则，未知参数a, b, c将在图4中得到准确辨识．

为了简单起见，不妨选取分段函数为：

著名的Rössler系统[12]的动力学方程为：

其中当系统参数a1=0.2,b1=0.2,c1=5.7时，Rössler系统具有如图2所示的混沌吸引子．

图2 Rössler系统的混沌吸引子

根据响应系统（2），给系统（13）添加自适应控制器u( x, y)，得到响应系统为：

其中自适应控制器为：

根据式（8），驱动系统的未知参数a, b, c的辨识法则为：

根据驱动系统和响应系统之间的误差定义式（3），驱动系统（11）和响应系统（14）的误差e ( t)的轨线如图3所示．

图3 参数未知的Lorenz系统和响应系统(14)的误差轨线

由图3可看出，误差e( t)在t∈[0,50]，t∈(50,100]，t∈(100,150]的各时间段内都趋向0，说明在自适应控制器（15）的作用下，驱动系统（11）和响应系统（14）依比例函数（12）实现分段函数投影同步．根据分段函数（12），从一个时间段向另一个时间段过渡时，同步比例发生变化，所以误差轨线有一定幅度的震荡．

图4 驱动系统(10)和响应系统(14)相图

图4为驱动系统（10）和响应系统（14）相图．

由图4可知，响应系统（14）和驱动系统（10）依分段函数（12）实现函数投影同步，响应系统的相图大小分别是驱动系统大小的4倍、3倍和2倍．同时，根据驱动系统（11）的未知参数参数辨识法则（16），未知参数的辨识如图5所示．

由图5可知，驱动系统（11）的未知参数辨识曲线趋向系统参数的固有值a=28，b=10，c=8/3，说明了未知参数辨识法则（16）的有效性．

图6为驱动系统（11）和响应系统（14）的同步比例图．

由图6可知，在时间段t∈[0,50]，t∈(50,100]，t∈(100,150]内，驱动系统（11）和响应系统（14）分别以比例2、3、4实现同步，说明驱动系统（11）和响应系统（14）依比例函数（12）实现分段函数投影同步．

图5 驱动系统(11)的未知参数a, b, c的辨识

图6 驱动系统(11)和响应系统(14)的同步比例

4 结 论

本文研究了参数未知混沌系统的分段函数投影同步及参数辨识问题，利用牵制控制技术，基于Lyapunov稳定性定理，设计自适应控制器和系统未知参数的辨识法则，实现驱动系统和响应系统的分段函数投影同步，并对系统的未知参数进行辨识．数值仿真表明自适应控制器和未知参数辨识法则的有效性．

分段函数投影同步与以常数比例的投影同步相比较，同步方式更加复杂，同样也比函数投影同步的同步方式复杂，因为分段函数投影同步是在不同的时间段内，驱动系统和响应系统以不同的函数比例同步．因此，分段函数投影同步可看做是对混沌同步方式的延伸与发展．

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[6] Hu M F. Full state hybrid projective synchronization of a general class of chaotic maps [J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2008, 13(4): 782-789.

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[12] 陈关荣, 吕金虎. Lorenz系统族的动力学分析、控制与同步[M]. 北京: 科学出版社, 2002: 1-10.

On Projective Synchronization and Parameter Identification of Piecewise Function in Unknown Chaotic System

LIAN Yuping, LI Dekui
(1. Department of Mathematics, Dingxi Normal College, Dingxi, China 743000; 2. Department of Science Education, Gansu Institute of Traditional Chinese Medicine, Lanzhou, China 730000)

This paper introduces the design of self-adaptive controller and parameter identification rules by means of the pinning control technology, based on the Lyapunov stability theorem. In order to realize the piecewise function projective synchronization in chaotic systems, the system's unknown parameters are identified. Numerical simulation shows the effectiveness of the controller as well as the parameter identification rules.

Chaotic System; Piecewise Function Projective Synchronization; Parameter Identification

O415.5

A

1674-3563(2015)02-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2015.02.001 本文的PDF文件可以从xuebao.wzu.edu.cn获得

(编辑：封毅)

2014-06-28

教育部科技研究重点项目(212180)；甘肃省国际科技合作计划项目(1104WCGA195)；定西师范高等专科学校青年人才工程资助项目(1329)

连玉平(1964- )，男，甘肃渭源人，副教授，硕士，研究方向：非线形分析