m项交错调和级数收敛性及推广应用*

廖 辉，廖 平

（四川职业技术学院应用数学与经济系，四川遂宁629000）

m项交错调和级数收敛性及推广应用*

廖 辉，廖 平

（四川职业技术学院应用数学与经济系，四川遂宁629000）

本文给出了m项交错调和级数概念，得到了交错项an（m）的两个极限值及这类级数的收敛性，给出了这类级数和的积分式及其收敛值，并把结果推广应用到通项分母呈等差数列（公差d＞0）的一类交错级数求和上，解决了更多级数求和问题.

调和级数；m项交错调和级数；敛散性；求和

1.问题

我们知道，调和级数并不收敛，但对其相邻项给正负符号，组成的交错级数

一般地，依次把调和级数相邻m项结合并给正负符号构造交错级数：

我们把级数（1）叫做m项交错调和级数.

从前面的讨论中知道，m＝1时，交错调和级数收敛.下面讨论m项交错调和级数（m≥2，m∈N）的收敛情况.

2.m项交错调和级数的敛散性

定理

an（m）＝s（n+1）m-snm＝［s（n+1）m-ln（nm+m）］-［snm-ln（nm）］+ln（n+1）-ln n.（2）

由定理1（i），有

3.m项交错调和级数的和

对于m项交错调和级数的和，首先给出一个引理：

引理1［6］

下面是几个关于m项交错调和级数的收敛值的定理.

定理2

证明 首先不难得到

显然，上式右端的级数当0＜t＜δ（＜1）时一致收敛，故可逐项积分，即

由狄利克雷一致收敛判别法知，（4）式右端级数在［0，1］上一致收敛.当δ＝1时，左连续.于是有

关于这个积分的计算结果，有下面的结论：

证明 在积分式（5）中，令tm＝u，得到

注意到

故有

于是

4.推广应用

将级数（1）中的an（m）换成bn（m）构成更一般的m项交错级数：

其中a∈R，d＞0，bn（m）

对级数（8），给定m∈N，有bn（m）＞bn+1（m＝0，从而它收敛［1］.

采用上面定理2求m项交错调和级数积分和同样的方法，得

利用（9）式和定理3结果中Jm的值，即可解决更多类别［7-8］的级数求和问题.

解a＝1，d＝2，m＝3，利用（9）式和前面J6的值，得

注：利用J6避免了计算非常繁难的原积分.

解a＝1，d＝2，m＝3，利用（9）式和前面J3的值，得

我们还可将（8）式中的bn（m）换成更一般的，只要数列｛un｝单减且得到的m项交错级数都是收敛的.

［1］陈传璋，金福临.数学分析（第二版下册）［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］欧阳光中、朱学炎.数学分析（第三版下册）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］张筑生.数学分析新讲（第二版第3册）［M］.北京：北京大学出版社，1991.

［4］舒阳春.高等数学中的若干问题解析［M］.北京：科学出版社，2005.

［5］武汉大学数学系.数学分析［M］.北京：人民教育出版社，1978.

［6］刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第五版下册）［M］.北京：高等教育出版社，2008，317—318.

［7］杨传林.等间距交错级数的收敛性及求和法［J］.浙江师大学报（自然科学版）2000，23（2）：115—118.

［8］郑继明，唐兴莉.一类双交错级数的收敛性及求和法［J］.重庆师范学院学报（自然科学版），2002，19（1）：33—34.

（责任编辑 李艳梅）

The Convergence and Application of M-terms Alternative Harmonic Series

LIAO Hui＆LIAO Ping
（Department of Practical Mathematics and Economics，Sichuan Vocational and Technical College，Suining，629000，Sichuan Province）

In this paper，a definition of m-terms alternative harmonic series，the convergence property of this kind of series and two limits of its alternative terms an（m）are proposed at first，then formulas to compute the sum of such series are presented.After that，these results are also generalized to alternative series that the denominator of its alternative terms make up an arithmetic sequence（the common difference d＞0），and this generalization allow us to deal with more kinds of summation of series.

harmonic series；m-terms alternative harmonic series；convergence；summation

O174.3

A

1671-7406（2015）09-0005-04却收敛于ln2［1］.由此想到，依次把调和级数相邻两项结合给正负符号，组成交错级数：

四川省教育厅自然科学重点项目，项目编号：11ZA264。

2015-08-25

廖 辉（1957—），男，教授，硕士，研究方向：应用数学，数学教育。