幂指函数的导数求法

王志英

【摘要】求幂指函数导数对高职学生来说是一个难点，本文对幂指函数的导数求法做一总结。

【关键词】函数  导数  偏导数

【中图分类号】G71 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0137-01

形如y=u（x）V（x）称为幂指函数。例如，y=xcosx、y=（1+x2）2x均为幂指函数。

幂指函数既不是幂函数，也不是指数函数，因此在求导时不能使用幂函数或指数函数的求导公式。下面举例说明其求导方法。

（一）用复合函数求导法则求幂指函数的导数

定理：若函数u=？准（x）在点x处可导，函数y=f（u）在相应的点u处可导，则复合函数y=f[？准（x）]在点x处可导，且■=■·■.

例1：求函数y=xcosx的导数。

解：由于y=xcosx=elnx■=ecosxlnx，于是它可以分解为y=eu，u=cosxlnx，所以■=■·■=eu·（-sinxlnx+■）=xcosx·（-sinxlnx+■）

说明：使用复合函数求导法则求幂指函数的关键在于正确分解复合函数，分解幂指函数是一个难点。

（二）用对数求导法求幂指函数的导数

对数求导法是先在y=f（x）两边求对数，然后使用隐函数求导法则求其导数。

例2：求函数y=（1+x2）2x的导数。

解：先在两边求对数得  lny=2xln（1+x2）

上式两边对x求导得

■·■=2ln（1+x2）+2x·■

所以 ■=y·2ln（1+x2）+■=2（1+x2）2x·ln（1+x2）+■       说明：在掌握隐函数求导法则后，使用对数求导法求幂指函数的导数就比较容易了。

（三）用多元复合函数求导法则求幂指函数的导数

在分解幂指函数y=xx时，学生经常分解为y=uV，u=x，v=x，这样分解后y是关于u和v的二元函数，u和v是关于x的函数，此时可以利用二元函数的偏导数求其导数。

定理：如果设u=？准（x）及v=？渍（x）都在点x可导， 函数z=f（u，v）在对应点（u，v）有连续偏导数， 则复合函数z=f（？准（x），？渍（x））在点x可导，且 ■=■·■+■·■。

例3：求函数y=xx■的導数。

解：令u=x，v=x2，则y=uv，于是

■=■·■+■·■=vuv-1+uvlnu·（2x）

=x2·xx■-1+xx■lnx·（2x）

=xx■+1+2xx■+1lnx=xx■+1（1+2lnx）

说明：在掌握偏导数求法后，才可以使用多元复合函数求导法则求幂指函数的导数。

参考文献：

[1]赵佳音.《高等数学》，北京大学出版社.

[2]同济大学应用数学系，《高等数学》，高等教育出版社.