关于Lyapunov稳定性这一概念的教学设计

杨艳 宋国杰

【摘要】从Malthus模型出发，说明由初值产生的误差可能会对方程的解产生较大的影响，从而说明微分方程解的稳定性的意义，然后得到稳定性的概念。

【关键词】Lyapunov稳定性  初值条件  问题性教学

【基金项目】西南石油大学校级青年教师教改项目资助（2014JXYJ-39）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0145-02

李雅普诺夫稳定性是常微分方程中的难点之一。由于数学概念的高度抽象性以及学生认知能力的局限性， 学生对概念的学习往往只停留在表面的抽象的数学符号上， 其更深层次的含义理解不到位， 导致对后续知识的学习也会一知半解。该定义刻划的是微分方程由初值产生的扰动对方程的解的影响。

先看一个具体实例——Malthus模型： 假设人口的净增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是一个常数r（r>0），若用x（t）表示t时刻某区域的人口，那么该模型为：

■=rx，      ＼？鄢MERGEFORMAT （1）

若已统计出t0时刻的人口数量为x0，即x（t0）=x0，那么结合可求得：

x（t）=x0ert     ＼？鄢MERGEFORMAT  （2）

据此表达式可预测出未来的人口发展趋势. 但是这里的初值条件x（t0）=x0通常是由统计数据得到的， 误差时难免的， 那么自然会问： 该误差对我们的求解影响大吗？

假设真实的数据是x（t0）=？准0， 那么在此初值条件下的解为？准（t）=？准0ert.当时间t→+∞时， 在这两种初值条件下的误差：

？准（t）-x（t）=？准0-x0ert→+∞ ＼？鄢MERGEFORMAT  （3）

上式说明： 若初始值即使有很小的误差， 这个误差会随着时间t的增加而被无限放大， 最终会导致“差之毫厘， 谬之千里”的结果. 实际上， Malthus模型将问题简单地线性化， 假设人口净增长率为一常数， 而忽略了人口的制约因素， 与实际规律不符. 那么， 对一个实际模型， 如何从这个角度来验证该模型的合理性呢？ 這就是稳定性要讨论的问题。

考虑一般的一阶微分方程

■=f（t，x）             ＼？鄢MERGEFORMAT  （4）

这里假设f（t，x）在开区域G？哿R×R内连续， 关于变量x满足局部Lipschitz条件.

假设真实初值为

x（t0）=？准0           ＼？鄢MERGEFORMAT  （5）

那么， 根据前面假设， 问题在条件下有唯一解

x=？准（t）          ＼？鄢MERGEFORMAT  （6）

若有另一组初始值

x（t0）=x0          ＼？鄢MERGEFORMAT  （7）

问题在条件下的解与初始值x0相关，不妨将该解记为

x=x（t，t0，x0）           ＼？鄢MERGEFORMAT  （8）

既然初值条件都不可避免地存在误差， 我们自然希望当初始误差不大时， 在这两组初始值下得到的方程的解的误差也不大。即解的误差能由初始误差控制. 这样， 用极限的语言描述， 即：

当x0→？椎0时，对任意t≥t0，有x（t，x0）→？准（t）

根据上式， 得到如下李雅普诺夫稳定性。

定义  假设f（t，x）在开区域G？哿R×R内连续， 关于变量x满足局部Lipschitz条件. 如果对于任意的？着>0， 存在一个？啄=？啄（？着）>0，使得对于满足的解？椎（t）以及满足和的解x=x（t，t0，x0），只要？椎0-x0<？啄时，就有

？准（t）-x（t，t0，x0）<？啄      ＼？鄢MERGEFORMAT  （9）

对于所有的t≥t0成立， 则方程■=f（t，x）的解x=？椎（t）是Lyapunov意义下稳定的.

稳定性这一概念是100多年前由Lyapunov提出来的， 稳定性是一个永恒的课题。凡涉及到运动的变化或者状态的变化等， 稳定性都是首要的研究性能。不稳定的模型， 通常是不科学的，刚才的Multhus模型在短期内模拟人口问题没太大的问题， 但是在长时间， 比如100年来看就是不合理的。再如“蝴蝶效应”， 在亚马逊热带雨林的一只蝴蝶翅膀偶尔振动， 两周后可能会引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。这也说明了不稳定可能会导致不可预测的结果。现在随着科学技术的发展，很多新的学科， 如非线性控制， 生物数学， 基因网络， 混沌控制与同步以及基因调控网络的理论等都是稳定性理论的具体应用。

注1上式是针对一阶微分方程给出的稳定性的概念。若对一般的微分方程组， 只需将上述定义中的绝对值换成向量范数 （广义的距离） 即可。

注2 关于稳定性的概念， 学生容易和解的存在唯一性理论中的解对初值的连续依赖性这一知识点混淆。这两个概念讨论的都是因初值产生的误差对方程的解的影响。稳定性是在长时间内讨论的， 也就是自变量t是可以趋于正无穷的， 而后者对自变量只要求在有限的区间内即可。

小结 在数学课程一些概念的讲解中， 可以先结合实际问题说明这一概念产生的背景， 然后引出概念。这也是“问题性教学”所倡导的。本文通过Malthus模型说明， 在微分方程的初值问题中， 若初始值有小小的误差， 随着时间的增加， 这一误差被无限放大， 此时该解不稳定， 根据此意义即得到稳定性的严格数学定义。

参考文献：

[1]张祥云. 由“非问题性教学”走向“问题性教学”[J].高等教育研究.1995，5.

[2]王高雄等. 常微分方程（第三版）[M]. 高等教育出版社： 北京. 2010.

作者简介：

杨艳（1984.11-），女， 汉族， 河南省内乡县人， 硕士， 讲师， 研究方向：微分方程数值解。