二阶中立型多时滞差分方程的振动性和渐近性

郑允利

（徐州生物工程职业技术学院 基础部，江苏 徐州 221006）

1 引言

由于计算机科学、生物数学、现代物理等自然科学与边缘科学的迅速发展，对时滞差分方程定性理论的研究近年来十分活跃.许多学者对二阶中立型时滞差分方程的振动性、渐近性及正解存在性作了探讨，取得了大量成果[1-7].但已有文献中所研究的方程大都是单时滞的，而从实际中抽取出来的数学模型通常是多时滞的.任荣霞、吴淑慧在文献[1]中研究了二阶不稳定中立型非线性差分方程

得到在p(n)的不同条件下及当g(n)＜n时，该方程有界解振动的若干充分条件；邢海龙等在文献[5]中讨论了二阶中立型非线性多时滞差分方程n>n0.建立了该方程分别在和的条件下，每个有界解振动的充分条件.

在此基础上，下面将研究一类二阶中立型多时滞差分方程

的振动性和渐近性，其中{ pi(n ) } 是非负实数序列，τi，i=1,2,...,m是非负整数，且存在非负整数τ，使得τ=max{τi, i=1,2,...,m} ； {qj( n ) } 为非负实数序列，gj:N0→N0，且j=1,2,...,l.令

2 预备知识

“ Δ”表示向前差分算子，即 Δ x(n)=x(n + 1)-x(n)；Z表示所有整数构成的集合，设 a ∈Z，记N(a)={a , a+1,…},N=N(0).

一个差分方程的解{x ( n ) } 称为最终为正的，是指存在正整数M，使得n∈N(M ) 时，有 x (n)>0；若存在正整数M，使得n∈N(M ) 时，有 x (n ) ＜0，则称{x ( n ) } 最终为负的.

一个差分方程的解{x ( n ) } 振动，是指{x ( n ) } 既不最终为正，也不最终为负；否则，称之为非振动的.一个差分方程称为振动的，如果方程的所有解都是振动的.

引理2.1[7]假定i=1,2,…,m,且，若其中 | L |＜∞，则存在，且等于

3 主要结果

定理3.1假定g()n＜n,n≥n0，且下列条件成立

（H1）存在 p ∈[0 , 1) 使得；（H2）则方程（1）所有有界解振动.

证明设 x(n ) 是方程（1）的最终有界正解，则存在n1≥n0，当n≥n1时，有 x (n - τ)>0，x(gj( n ) ) >0.由方程（1）和（2）式得，当 n >n1时，有 Δ2z(n)>0，因此 Δ z(n)最终定号.如果 Δz(n)>0，则必有nl i→m∞z(n)=∞ ，这与z(n)有界矛盾，故Δz(n)≤0.从而z(n)严格单调下降，因而z(n)只能最终为正或最终为负.

若z(n ) 最终为负，即存在n2>n1，当n≥n2时，有 z (n ) ＜0.记1≤mia≤xm{x ( n - τi)}=x(n - τ)，由（2）式和（H1）可知当 n ≥n2+kτ 时，有 x (n)＜px(n - τ ) ＜pkx(n - kτ).由上式可得nl i→m∞x(n)=0，从而nl i→m∞z(n)=0，这与Δz(n)≤0且z(n)＜0矛盾.

若z(n)最终为正，根据z(n ) 的性质，存在n2>n1，当n≥n2时

令 σ=g(n),μ=g(s) ，根据（3）式和方程（1）得

将（4）式两端关于 s 从 g (n)到n-1求和得

根据 Δz(n ) ≤0及（5）式得

即

这与（H2）矛盾，故 z()n最终为正也不成立.证毕.

定理3.2假设下列条件成立

（H3）则方程（1）存在有界非振动解x(n)使得

当且仅当

证明假 定x(n ) 是方程（1）的最终有界正解且满足（6）式，则存在 n1≥n0，当 n ≥n1时，有 Δ2z(n)>0，Δz(n)≤0，从而lin

对（8）式两端从 s到 ∞求和，得

对（9）式两端从n到∞求和，得因为z()

n 有界，由（10）式可知（7）式成立.

下面假定（7）式成立.由（7）式可知，存在充分大的正整数N，使得

记Ω={x ∈ E:1≤x(n)≤2,n≥N-τ}，则Ω是E的有界闭凸子集.定义算子T：Ω→E如下

对任意的 x1,x2∈Ω ，当n≥N时，有

由此得

当 N-τ≤n＜N时，对任意的 x1,x2∈Ω ，有（13）式成立.因为所以T为Ω上的压缩映射，也是连续算子.

对任意的x∈Ω ，当n≥N 时 ，由（11）式 和（12）式 ，得Tx(n)≥1-p+p=1.即1≤Tx(n)＜2.

显然，当 N -τ≤n＜N时，亦有1≤Tx(n)＜2.因而，Tx∈Ω.即T为Ω上的自映射. 由Banach空间上的压缩映射原理可知，存在一个x∈Ω，使得Tx=x.由（12）式知，此不动点x满足

显然不动点x是方程（1）的一个有界正解且满足（6）式.

→m∞Δz(n)=0，nl→im∞z(n)=L≠0.

由方程（1）和（2）式及（H3）得

定理3.3…,m,且和

则方程（1）的有界非振动解渐近趋向于零.

证明假 设x(n)是方程（1）的最终有界正解，根据定理3.1的证明知，Δz(n)≤0，z(n)>0最终成立且

若L>0，则存在M>0使得x(n)>z(n)>M ，对方程（1）两边从 n0到 n-1求和，得

当x(n)为方程（1）的最终有界负解时，同理可证.证毕.

[1]任荣霞，吴淑慧.二阶不稳定中立型非线性差分方程有界解的振动性[J].河北师范大学学报：自然科学版，2002，26（2）：118-122.

[2]Zhang Zhengguo,Biping,Dong Wenlei.Scillatory of unstable type second neutral difference equations[J].Korean J Comput Appl Math,2002,9(1):87-99.

[3]孙喜东，刘柏枫，刘晓辉.一类二阶中立型差分方程正解的渐近稳定性[J].数学的实践与认识，2009，39（17）：217-220.

[4]郑允利，钟晓珠，张涛，等.二阶中立型差分方程非振动解的不存在性和渐近性[J].科学技术与工程，2007，7（21）：5468-5470.

[5]杨甲山.二阶变系数多时滞非线性中立型差分方程的正解[J].四川师范大学学报：自然科学版，2009，32（4）：470-473.

[6]邢海龙，钟晓珠，王东华，等.二阶中立型非线性多时滞差分方程有界解的振动性[J].燕山大学学报，2004，28（4）：310-314.

[7]Zhou Yong，Zhang B G.The classification and existence of nonoscillatory solutions of second-order neutral delay difference equa⁃tions[J].ZAA(Anal Appl),2001,20(1):223-234.