具有两个边界层的奇异摄动转向点问题的数值方法

耿发展

（常熟理工学院 数学与统计学院，江苏 常熟 215500）

奇异摄动问题在流体动力学、海洋大气层环流、化学反应、最优化控制等领域有着广泛的应用，因此，该问题引起了广大研究人员的兴趣.奇异摄动问题的解具有边界层的特性，经典的数值方法难以获得该类问题的精度较高的近似解.具有转向点的奇异摄动问题数值求解难度更大，寻求这类问题的有效数值方法更具挑战性.文献[1-4]讨论了这类问题的数值方法，本文基于再生核空间理论，提出求解具有两个边界层的奇异摄动转向点问题的有效数值方法.

1 数值方法

考虑下面的奇异摄动转向点问题：

其中函数a(x)，b(x)和 f(x)是在-1＜x＜1内充分光滑.

依据a(x)的取值，方程（1.1）的解表现出边界层或内部层的特性.系数a(x)=0时点称为转向点.与非转向点问题相比，具有边界层或内部层的转向点问题处理起来往往更加棘手.这里，我们主要考虑如何解决具有边界层的奇异摄动转向点问题的情况.

假设：

在此假设下，问题（1.1）具有两个边界层.

1.1 问题（1.1）的转化

引入变量变换 x=h(s)=sin(π sin(π sin(πs/2)/2)/2)，

问题（1.1）转化成了下面的新的边值问题

问题（1.3）的解不再具有边界层特性，处理起来比（1.1）容易得多，一旦得到（1.3）的解，（1.1）的解即可得到，下面我们将用再生核方法求解（1.3）.

1.2 求解问题（1.3）的再生核方法

为了解决上述问题，引入一个未知函数

其中 ϕ(s)=γ0+γ1s，满足 ϕ(-1)=α，ϕ(1)=γ.

定义 Lv(s)= εv″(s)+p(s)v′(s)+q(s)v(s)，问题（1.3）转化为

其中 F(s)=g(s)-Lϕ(s).

为了求解问题（1.5），我们构造下面的再生核空间W4[-1,1].

定义1.1 W4[-1,1]={u(x)|u‴(x)是绝对连续函数，且u(4)(x)∈L2[-1,1],u(-1)=0, }u(1)=0，W4[-1,1]的内积和范数分别表示为

和

定理1.1 W4[-1,1]为再生核空间，它的再生核表示为

定理1.1的证明及再生核的求解方法参见文献[3，5].

不难证明，L:W4[-1,1]→W1[-1,1]为有界线性算子，从而其共轭算子 L*存在.记 φi(s)=kˉ(s,si)和ψi(s)=L*φi(s)，对实施施密特正交化，即得

定理1.2 对于问题（1.5），如果在区间[-1,1]内是稠密的，那么为空间W4[-1,1]的完全系.

定理的证明过程见文献[6-7].

定理1.3 如果在区间[-1,1]内稠密，那么问题（1.5）的解可表示为

证明根据定理1.2，很显然有：是再生核空间W4[-1,1]的完全正交基.

进一步，我们可以得到

命题得证.

对级数表示（1.6）进行N项截断，便可得问题（1.5）的近似解.

定理1.4 问题（1.5）的近似解yN(x)及其导数y′N(s)一致收敛.

证明由于W4[lε,rε]是一个希尔伯特空间，显然有

由于

从而可得

命题得证.

由（1.4）及变量变换 x=h(s)，可得（1.1）的近似解 uN(s)=vN(h-1(x)),其中 vN(s)=yN(s)+ϕ(s).

2 数值算例

考虑下面的奇异摄动问题

f(x)已知且保证问题的精确解是u(x)=e-2x(2x-1)/ε.使用本文提出的方法，取ε=2-8,2-12.本例所有的计算通过Mathemati⁃ca7.0完 成 ，所得的数值结果见图1，图2.

图1 ε=2-8时的绝对误差

图2 ε=2-12时的绝对误差

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