一道向量试题的探究和思考

安徽省枞阳县宏实中学 江保兵 (邮编：246700)

一道向量试题的探究和思考

安徽省枞阳县宏实中学 江保兵 (邮编：246700)

1 试题及解法

将AB=6,AC=10代入上面的两个式子中，化简得：

6x+10cos∠BAC·y=3，6cos∠BAC·x+10y=5 ，又2x+10y=5，三式联立解得：

①

②

2 试题推广

即 2c2x+2bccosA·y=c2

①

2bccosA·x+2b2y=b2

②

解这个二元一次方程组，并由正余弦定理得：

这是我们在各种考试中经常见到的一种形式，例如下面这道试题就是以⑶为背景来命制的.

3 类比推广

(4)当H为△ABC的垂心时，

证明 (1)、(2)证明比较简单，留给读者.这里主要给出(3)和(4)的证明.

(3)当Ia为△ABC中∠A所对的旁心时，过Ia作BC的平行线交BC的延长线于B1、C1.设BB1=ct，则IaB1=ct,IaC1=CC1=bt，如图所示.

①.

所以

c2x+bccosA·y=bccosA

①

bccosA·x+b2y=bccosA

②

解这个二元一次方程组，并由正余弦定理得：

当△ABC为非直角三角形时，

4 一个熟悉的结论

由上面的讨论，我们自然而然地得到以下结论.

1 江保兵.平面向量的共线定理及其推论[J].中学数学研究(广州)，2014，( 3)

2 李金聪.三角形“五心”优美的向量形式[J].福建中学数学，2010 ，( 3)

3 贺功保，叶美健.三角形的五心[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009

2014-12-21)