次指数分布下复合Poisson风险过程破产概率的渐近公式

赵丽霞

（山西大学商务学院，山西 太原 030031）

0 引 言

风险模型是精算学研究的一个热门话题，国内外众多学者对风险模型中的破产概率问题进行了探讨，得出了破产概率的显式通解或渐近分布［1－8］。文中考虑了带有常数保险费率、常数利息力的复合Poisson风险模型，在次指数分布下推导出了破产概率的渐近公式。

1 模型描述

给定概率空间（Ω，F，P），假定理赔次数过程｛N（t），t≥0｝服从强度参数为λ的Possion过程，其中，N（t）为时间间隔［0，t］中的索赔次数；｛Yj，j≥1｝为独立同分布的理赔额随机变量序列，其中Yj表示第j次理赔额，其分布函数为F，满足进一步假 定｛N（t），t≥0｝与｛Yj，j≥1｝相互独立。

记

文中假定H为次指数分布，在此基础上研究风险模型的破产概率问题。

总理赔额过程｛X（t），t≥0｝定义为

考虑经典风险模型

式中：｛Uγ（t），t≥0｝——保险公司的风险准备金；

P——常数保险费率；

γ——常数利息力。

在以上假定条件下，由文献［1］可知，风险准备金｛Uγ（t），t≥0｝满足方程

其中v＝Uγ（0）≥0为保险公司的初始盈余。定义，称为该盈余过程的终极破产概率。

为研究方便，文中给定以下变量记号：

记ρ＝λμ：单位时间内的期望理赔额数量；

φγ（v）＝1－Ψγ（v）：生存概率；

Gγ（v）＝1－Ψγ（v）／Ψγ（0）：辅助分布函数；

2 辅助关系

假设安全载负ρ＜c成立，由文献［1］可知

其中，Hn＊为Stieltjes卷积，

文中将利用Gγ（v）讨论保险公司的破产概率问题。

由Beekman卷积公式，破产概率Ψ0（v）可表示为

由式（1）和式（2）可得

即

由Laplace－Stieltjes转换，并结合式（2）得

3 主要结论及证明

我们将要在H为次指数分布的假定条件下，通过估计eγ（v）的上、下界进而得到eγ（v）的渐近公式。

定理1 若ρ＜p，则

证明：显然eγ（v）≥v（1－Gγ（v）），将其代入式（4），得

又

得

定理2 对于次指数分布H及ρ＜p，有

证明：由于

又

则

定理3 若H为次指数分布，则

证明：

情形1：ρ＜p。

由定理2可知，

情形2：ρ≥p。

由破产概率的表达式可知，若p≤p′，则Ψγ（v，p）≥Ψγ（v，p′）。若ρ＜p′，则由情形1可知，，并且对于任意的且，有

另v′满足ρ＜p＋γv′，则由情形1可知

因此，Ψγ（v）上、下界表达式相同，则

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