基于小波变换与Lipschitz指数的桥梁损伤识别研究

余 竹, 夏 禾, 殷永高， 孙敦华

1.北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044; 2. 安徽省交通控股集团有限公司，合肥 230088)



基于小波变换与Lipschitz指数的桥梁损伤识别研究

余 竹1,2, 夏 禾1, 殷永高2， 孙敦华2

1.北京交通大学 土木建筑工程学院，北京 100044; 2. 安徽省交通控股集团有限公司，合肥 230088)

针对连续小波变换与Lipschitz指数在识别信号奇异性上的优越性，以裂缝模拟桥梁损伤，提出基于小波变换与Lipschitz指数的损伤识别方法。对损伤结构位移模态进行小波变换，用小波系数灰度图及模极大值轨迹图进行损伤定位，并用Lipschitz指数评价损伤程度。理论推导裂缝梁的Lipschitz指数范围，并数值计算验证该方法识别结构裂缝损伤的有效性。考察Euler梁及Timoshenko梁、不同程度损伤、多位置损伤、稀疏测点布置及噪声测试等多种因素对损伤识别效果影响。

小波变换；Lipschitz指数；奇异性；损伤识别；位移模态

基于模态参数如自振频率、振型的结构损伤识别方法颇受关注，皆因模态参数较易获得并能较好刻画结构整体性能。而从模态参数中提取局部信息如细微的缺陷却并不容易。已有的基于模态参数损伤检测方法均试图寻找损伤与模态参数之关系。如Pandey等[1]用结构位移模态有限差分所得曲率信息识别损伤，将曲率模态用于梁式结构损伤检测。Maia等[2]从位移频响函数中推导出曲率频响函数进而识别损伤。

小波变换在识别信号奇异性上优越性强[3]，损伤定位特性好且无需对测试数据微分。如Liew等[4-6]初步证实基于小波变换的结构损伤识别方法适用性。邱颖等[7]对结构健康、损伤状态的模态曲率差进行小波变换,识别悬臂梁损伤，但该方法需结构未损伤信息。管德清等[8-9]对结构转角模态或应变模态进行小波变换，用小波系数对弹性地基梁及框架结构进行损伤识别。赵俊等[10]利用移动荷载作用下简支梁响应的小波系数识别出裂缝损伤位置。然而直接用小波系数识别小程度损伤较困难，且易受噪声影响；而对损伤程度缺乏进一步评价。Hong等[11]用Lipschitz指数评价结构单损伤时损伤程度并进行实验验证。任宜春等[12]研究梁损伤位置与测点距离对Lipschitz指数影响。以上研究均未考虑多位置损伤工况及梁高深浅、测点疏密以及噪声等因素对Lipschitz指数影响。而单纯用某个尺度小波系数定位损伤存在缺陷，不易直观研究各尺度的小波系数从而对损伤产生误判。

为此，本文提出用含各尺度的小波系数灰度图及小波系数模极大值轨迹图对裂缝损伤进行直观定位，并用Lipschitz指数评价损伤程度。考察Euler梁及Timoshenko梁的不同程度损伤、多位置损伤、稀疏测点及噪声等因素对识别结果影响，并通过数值算例验证该方法的适用性。

1 小波变换与Lipschitz指数

信号f(x)的连续小波变换可表示为

(1)

式中：ψ(x)为小波函数；ψ*(x)为复共轭；s，u分别为尺度、平移因子。

ψ(x)满足容许条件为

(2)

(3)

若小波函数ψ(x)满足式(3)，则称其具有n阶消失矩。用连续小波变换计算的Lipschitz指数可用于评价信号的奇异性，Lipschitz指数定义如下：

信号f(x)在v处为Lipschitzα≥0当且仅当存在常数K>0及m次多项式pv(x)(m为小于α的最大整数)时，有

(4)

设n≥α，对式(4)第一式进行连续小波变换，并由消失矩定义考虑W[pv(u,s)]=0，得

W[f(u,s)]=W[ξv(u,s)]

(5)

Jaffard[13]已证明，如果平方可积函数f(x)在v处为Lipschitzα≤n, 则有

(6)

在x=v邻域内，上式变为

(7)

其几何意义为：小波系数的极大值位于沿尺度方向影响锥内。上式可化为对数形式，即

(8)

(9)

由Lipschitz指数定义不难看出，信号越不光滑奇异性越高，Lipschitz指数值越小。

图1 裂缝梁示意图Fig.1 Sketch of a cracked beam

由图1，对梁裂缝a处变形及内力(竖向位移、转角、弯矩、剪力)平衡条件为

(10)

可见，裂缝梁位移模态在裂缝处存在一阶导数但不连续。据分析，其Lipschitz指数范围应为

1<α<2

(11)

本文选满足消失矩条件的墨西哥帽小波(Mexican Hat Wavelet)作为母小波函数，表达式为

(12)

2 基于小波变换与Lipschitz指数的结构损伤识别

2.1 单一位置损伤识别

图1中梁长L=1 200 mm,，弹性模量E=70 GPa，密度ρ=2 700 kg/m3，单元长度0.5 mm，共2 400单元；梁高h=20 mm，损伤位置梁高c=6 mm，c/h=0.3，损伤单元宽度w=0.5 mm，损伤位置距梁左端a=800 mm；采用梁单元用ANSYS进行有限元分析。裂缝处因截面高度h降低导致惯性矩I(矩形截面I=bh3/ 12)降低，故用抗弯刚度EI降低模拟裂缝损伤。以一阶模态为研究对象，无、有损伤下梁的归一化一阶位移模态见图2。由图2可见，仅从位移模态几乎看不出损伤位置有任何突变。

对损伤梁的位移模态进行小波变换(尺度s为64)后，所得各尺度的小波系数灰度见图3，其中颜色越亮数值越大。由图3看出，在损伤(800 mm)处有一条锥形亮条纹，小波系数在各尺度的模极大值位于此条纹内，由此式(7)获得印证。

小波系数模极大值轨迹见图4。由图4看出，所有尺度的模极大值均指向800 mm损伤位置附近，对识别损伤位置非常有效。

小波系数模极大值与尺度的对数关系见图5。由图5可见，对数关系呈线性，从而式(8)获得印证。用线性回归方法计算拟合直线斜率并按式(9)求出Lipschitz指数为α=1.494 7，与式(11)吻合。

2.2 不同损伤程度识别

考察c/h=0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7七种不同损伤程度。对各工况的一阶位移模态进行小波分析，其中c/h=0.1、0.3、0.5、0.7四种工况的小波系数灰度见图6。由图6看出，随c/h增大损伤程度变小，损伤处锥形条纹由明变暗，因次可用锥形条纹明暗比较裂缝的损伤程度。

图6 小波系数灰度图Fig. 6 The contour plot of

对c/h=0.7工况，800 mm处损伤较难反映，考察各尺度的小波系数模极大值轨迹见图7。由图7看出，在前十几个尺度上均能识别出损伤位置，但高尺度损伤信息被遮掩。

为研究其原因，以第6尺度为例，对比c/h=0.3及c/h=0.7两种工况下小波系数，见图8。由图8可见，两种工况的800 mm处峰值突变均指示出损伤位置。c/h=0.3工况因损伤较大，损伤处峰值既为极大值，亦为小段长距离内最大值，故而识别效果较好；但c/h=0.7工况因损伤较小，损伤处峰值仅为极大值，而非小段长距离内最大值，故而在灰度图上亮度较周边不明显。尽管如此，对小损伤的c/h=0.7，就前十几个尺度的结果而言，曲线在损伤位置仍有明显峰值，说明该损伤识别方法有效。

计算各工况下Lipschitz指数见图9。由图9看出，随c/h不断增加Lipschitz指数不断变大，符合Lipschitz指数检测信号奇异性，因损伤越大信号越奇异，Lipschitz指数越小。

2.3 Timoshenko梁影响

算例梁高h=20 mm，高跨比1/60，属于Euler梁。而Timoshenko梁的高跨比相对较高。为比较两种不同高跨比简支梁计算结果，将梁高增到h=240 mm, 即高跨比为1/5，宽度由20 mm增为100 mm。以c/h=0.3为例，损伤位置仍为800 mm，所得小波系数灰度见图10。对比图3的Euler梁计算结果看出，二者几乎无差别，均识别出损伤裂缝位置。

分别计算Timoshenko梁在c/h=0.1～0.7几种工况下Lipschitz指数，并与Euler梁计算结果比较，见图11。由图11看出，两种梁损伤工况相同时Lipschitz指数基本相同，说明梁高的深浅对损伤裂缝处Lipschitz指数几乎无影响，故可用于评价裂缝深浅。

2.4 多损伤位置的识别

仍以Euler梁为例(下同)，设梁在250 mm、500 mm、800 mm处单元损伤分别为c/h=0.5、0.6、0.3。小波系数灰度见图12。由图12看出，在每个损伤位置均出现亮条纹，且800 mm处损伤程度更大，条纹更亮。说明该方法对识别多位置损伤亦非常有效。

以第6尺度为例，其上小波系数见图13。可见图中每个损伤处的小波系数均出现极大值，且800 mm处峰值最大。

计算的小波系数模极大值轨迹见图14。由图14可见，对c/h=0.6 @500 mm及c/h=0.3 @800 mm处损伤, 小波系数模极大值识别出各损伤位置，而对c/h=0.5 @250 mm，虽尺度较大时识别结果发生偏移，但在前17个尺度上亦可正确识别出损伤位置。由于500 mm处损伤较250 mm处略小，故500 mm处损伤识别效果更好，因该处距跨中更近，对结构特性影响更大。

小波系数模极大值与尺度对数关系见图15。分别计算各损伤位置的Lipschitz指数为

(13)

比较三处损伤的Lipschitz指数看出，在多损伤工况中亦能反映出损伤程度越小Lipschitz指数越大的规律，损伤也被有效识别。

2.5 测点稀疏布置影响

实测中因条件限制只能布置少量测点。而测点稀疏可能会影响结果。因此进行测点稀疏布置研究非常必要。

单损伤工况计算模型中，损伤区域宽度w=0.5 mm，测点间距d=w。在此基础上加大测点间距，考察w/d=1/5及w/d==1/10两种稀疏测点布置方式，在800 mm处单元损伤程度分别为c/h=0.1,0.2,…,0.7，取一阶模态分析，小波变换尺度为64，所得不同测点间距的Lipschitz指数与损伤程度关系曲线见图16。由图16看出，随测点间距增大Lipschitz指数不断变大，因不充分的测点会漏失测点间某些奇异性损伤信息，使信号奇异性有所降低。

以c/h=0.3@800 mm为例，三种测点间距下小波系数灰度见图17。由图17看出，随测点间距增加损伤处亮条纹逐渐模糊，且在较高尺度的损伤信息更易被掩盖，但较低分解尺度上仍清晰可见。故该损伤识别方法对较稀疏测点布置仍有效。

算例中w/d分别为1, 1/5, 1/10，但损伤裂缝宽度较小(0.5 mm)，即使w/d=1/10, 也有241个测点。考察另一稀疏测点损伤，将损伤宽度增大为30 mm，此时w/d=1, 仅测量41个测点。将算例梁分为40个单元、41个节点，每个单元30 mm，损伤处位于第28单元(810～840 mm)，损伤程度为c/h=0.5。此时小波分解尺度为8，所得小波系数灰度见图18，每个尺度上的小波系数极大值用黑点标示。由图18看出，因测点稀疏，在灰度图中形成诸多方块。前几个尺度上的小波系数极大值均位于810～840 mm范围内，仍能识别出损伤位置。

计算出该工况下损伤处的Lipschitz指数为

α=1.47

(14)

2.6 噪声影响

实测中需考虑测试噪声影响。在前节稀疏测点模型基础上，对一阶模态添加信噪比SNR=25的Gauss白噪声，见图19。

噪声存在时小波系数灰度图、模极大值轨迹图、模极大值与尺度对数关系分别见图20～图22，其中图21、图22为与无噪声时的对比。计算出有噪声时损伤处的Lipschitz指数为

αnoise=1.14

(15)

由图20、图21可见，即使存在噪声，结构损伤仍可被识别，有无噪声对损伤位置识别影响不大，二者都均在前4个尺度上识别出810～840 mm处损伤，说明该方法具有一定抗噪性。对比式(15)、(16)看出，添加噪声的Lipschitz指数变小，此因噪声本身有较大奇异性，能增大原信号的奇异性，从而使含噪信号Lipschitz指数降低；图22中反映为含噪信号对应曲线斜率较小。

3 结 论

用本文所提方法对桥梁结构位移模态进行连续小波变换，用小波系数灰度图及模极大值轨迹图进行损伤定位，并通过Lipschitz指数评价损伤程度。考察Euler及Timoshenko梁、不同程度损伤、多位置损伤、稀疏测点及噪声等多种因素影响，结论如下：

(1) 基于小波变换与Lipschitz指数方法可有效识别结构损伤；小波系数灰度图、模极大值轨迹图可直观反映损伤位置，损伤程度可通过Lipschitz指数评价；裂缝损伤处的Lipschitz指数范围1～2。

(2) 其它条件相同时，Lipschitz指数越小损伤程度越大；梁高深浅对损伤处Lipschitz指数几乎无影响；增大测点间距，仍能够准确识别损伤，且测点间距越大Lipschitz指数越大。

(3) 该方法具有一定抗噪性，且噪声存在会使Lipschitz指数变小。

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Bridge damage identification based on wavelet transform and Lipschitz exponent

YU Zhu1,2, XIA He1, YIN Yong-gao2, SUN Dun-hua2

1. School of Civil Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044，China;2. Anhui Transportation Holding Group Co., Ltd, Hefei 230088, China)

The continuous wavelet transform and Lipschitz exponent perform well in detecting signal singularity. With the bridge damage modeled as a crack failure a damage identification method based on wavelet transform and Lipschitz exponent was proposed. With the wavelet transform applied to structural modal displacement, the damage can be located in the light of the contour plot and the locus of maximum modulus of wavelet coefficients. The range of Lipschitz exponent of cracked beams was derived theoretically. Some numerical examples show that the method can identify the damage effectively. Furthermore, some influential factors such as the effect of Euler or Timoshenko beam, different damage extent, multiple damage, sparse measuring points arrangement and test noise were studied.

wavelet transform; Lipschitz exponent; singularity; damage identification; displacement mode

国家自然科学基金(51178025)；国家重点基础研究计划973项目(2013CB036203)

2014-01-22 修改稿收到日期：2014-06-27

余竹 男，博士，1985年生

夏禾 男，教授，博士生导师，1951年生

O327

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.012