基于回传射线矩阵法成层土中部分埋入黏弹性桩的波动响应研究

余云燕， 姚 栋

兰州交通大学 土木工程学院，兰州 730070)



基于回传射线矩阵法成层土中部分埋入黏弹性桩的波动响应研究

余云燕， 姚 栋

兰州交通大学 土木工程学院，兰州 730070)

基于回传射线矩阵法获得桩顶作用半个正弦波脉冲时成层土中部分埋入黏弹性桩桩顶处速度导纳，利用Fourier逆变换与卷积定理获得瞬态半正弦激振力作用下桩顶处时域速度响应。比较均匀地基部分埋入桩受桩身材料阻尼与桩侧土体阻尼作用的桩顶速度响应，分析软(硬)夹层厚度、夹层土土性参数、桩底土土性参数变化对桩顶速度导纳及反射波影响。结果表明，桩身材料阻尼对桩顶速度导纳及反射信号均有衰减作用，且会使桩底反射波发生弥散现象；桩侧、桩底土体刚度变化会使速度导纳低频段曲线产生偏移量；桩侧、桩底土体阻尼变化对桩顶速度导纳及反射波较二者刚度变化影响更大。

回传射线矩阵法；成层土；部分埋入黏弹性桩；瞬态波动；速度导纳

桩基础因其优点诸多广泛用于土木工程领域，桩基检测成为施工中不可缺少环节。而桩的纵向振动理论为各种桩基动力检测的理论基础，开展桩的纵向振动理论研究对进一步弄清动力测桩机理及正确分析测试曲线十分重要。已有诸多对桩的纵向振动理论及求解方法进行深入系统研究且成果颇丰。 Van Koten等[1]采用函数代换及求黎曼函数方法获得均质土中半无限长均匀截面桩在任意激振力作用下的时域纵向响应。王奎华等[2-4]研究获得有限长桩、变截面阻抗桩的时域解析解。刘东甲[5]利用分段矩阵相乘法求得不均匀土中多缺陷桩的纵向时域半解析解。冯世进等[6]运用拉普拉斯变换与矩阵理论获得成层土中桩的振动半解析解。以往研究均针对全埋入桩基，而实际工程中大多桩基部分埋入，如桥梁、码头桩基等。因此，寻求新计算方法解决部分埋入桩基纵向振动非常必要。

Howard等[7-8]提出用回传射线矩阵法分析框架、刚架结构的初期瞬态波动响应。 该方法采用两组局部坐标系，使射线追踪过程具有因果关系，使结果更精确；且主要求解过程均在频域内进行，可精确求得解析解，用Neumann级数展开避免系统矩阵方程求逆中的奇异性问题，无需划分更多单元即可求出结构动力响应的解析解。余云燕等[9-17]将该方法用于埋置框架的波动响应研究中，土体对桩基作用用弹簧模拟，对脉冲荷载作用下有无缺陷埋置框架的瞬态波动响应进行分析；并对轴向激振力作用下部分埋入完整桩、缺陷桩在均质土、成层土中的波动响应深入系统研究，获得许多有价值的结论。虽对桩基波动响应研究已有不少文献，但尚无能综合考虑部分埋入桩基、土体分层性质及桩身材料阻尼等多种因素对波动响应影响。本文用回传射线矩阵法研究成层土中部分埋入黏弹性桩桩顶脉冲作用下波动响应，分析土体剪切模量、上覆土层厚度、软(硬)夹层厚度对桩顶速度导纳、反射波影响。

1 问题提出与求解

成层土中部分埋入桩-土计算模型见图1。基本假定为：① 桩为有限长，桩身材料为黏弹性材料，轴向应变黏性阻尼系数为ηp，桩总长l、横截面积Ap、密度ρp、弹性模量Ep，下标p表示有关桩的参数。在桩长度、密度、横截面积及弹性模量不变条件下，据桩身是否埋入土体及土层性质变化情况将桩分为n段，桩顶～桩底各段长度分别为l12，l23，l34，…，ln(n+1)。② 桩身部分埋于成层土中。桩侧各土层对桩的作用简化为线性弹簧κuj及线性阻尼器βuj以并联方式耦合，下标u表示有关土体参数，j表示第j层土体参数，土层编号自上而下为1，2，…，n-1，各土层厚度分别为l23，l34…，lij…，ln(n+1)(i=2，3，…，n；j=3，4，…，n+1)。③ 桩底土对桩的作用简化为线性弹簧κt与线性阻尼器βt以并联方式耦合。④ 桩-土系统振动为小变形。

图1 部分埋入桩-土计算模型Fig.1 Calculation model of pile-soil embedded partially in soil

所谓黏弹性桩为既有弹性又具有黏性性质，从能量转换考虑，固体的弹性使外力在弹性体变形过程中所做功全部以弹性势能方式储存，而固体的黏性可视为其内部存在的内磨擦力，当固体在外荷载作用下变形时，外力克服磨擦力做功，导致能量在传递过程中耗散从而产生波在传播过程中发生衰减现象。

以桩顶中心为原点对桩建立竖直向下总体坐标系X(图1)。该桩设n个单元n+1个节点，对每个单元ij引入局部坐标系xi及xj，原点分别为节点i，j。

考虑桩身材料阻尼，局部坐标系下各单元运动方程统一写为

(1)

式中：u=u(x,t)为桩身质点位移；j=0，1，2，…，n；κu0=0，βu0=0表示地面以上杆件无土体作用。

(2)

对式(2)进行Fourier变换，得

(3)

式中： “^”表示频域中变量。

求解式(3)可得

(4)

经无量纲化后，频域中速度、轴力表达式为

(5)

频域中，对所有节点建立力的平衡、位移协调条件，以节点3为例，有

(6)

将上式整理合并为

d3(ω)=S3(ω)a3(ω)+s3(ω)

a3=[a32,a34]T,d3=[d32,d34]T

以此类推，得各节点局部入射波波幅向量及出射波波幅向量，分别将其组集到总体矩阵a(ω)，d(ω)中，有

d(ω)=S(ω)a(ω)+s(ω)

(7)

式中：a(ω)，d(ω)分别为总体入、出射波波幅向量；S(ω)，s(ω)分别表为总体散射矩阵及总体波源向量。

对任一单元ij，因其两端各假设局部坐标系，故一端的入射波对另一端则为出射波，故a，d之间存在相位关系，即

a(ω)=PUd(ω)

(8)

式中：P=diag{-e-ik0l12,-e-ik0l21,-e-ik1l23,…,-e-iknln(n+1),-e-iknl(n+1)n}为传播矩阵；U为置换矩阵。

将式(8)代入式(7)，得

d(ω)=[I-R(ω)]-1s(ω)

(9)

式中：R=SPU为回传射线矩阵；I为单位矩阵。

将式(9)代入式(8)即可求出a。求出a，d后即可在频域中求出任一点的任意物理量。如在桩顶单位脉冲作用下(即桩顶激励f(t)=δ(t)时间函数，且f(ω)=1)的频域速度响应为

(10)

式中：AV，DV分别为桩的入、出射波速度波相矩阵。

将式(8)、(9)代入式(10)得

(11)

(12)

为消除极点，可将[I-R]-1用Neumann级数方式展开，即

[I-R]-1=I+R+R2+…+RN+…

(13)

将式(13)代入式(12)得

[I+R+R2+…+RN+…]seiωtdω

(14)

式中级数每一项表示波从某一节点向相邻节点的一次传播，故实际计算中可只计算级数中所需前面若干项，获得有限时间内瞬态波的波动响应。

d，a分别由N次多项式dN及N-1次多项式aN-1近似表示[18]为

(15)

式(14)可表述为

(16)

当桩顶输入半个正弦波激振力f(t)=Qmax(sinπt/Ta),t∈[0,Ta]，其中Qmax，Ta分别为激振力幅值及持续时间，通过卷积定理即获得桩顶速度波时域响应，即

(17)

2 参数分析

2.1 均质土中桩身材料及桩侧阻尼对部分埋入完整单桩桩顶速度导纳与反射波影响

图2 桩身材料、桩侧土体阻尼对完整桩顶速度导纳影响Fig.2 Damping surrounding the pile or pile damping on velocity admittance at top of perfected pile

图3 桩身材料、桩侧土体阻尼对完整桩顶反射波影响Fig.3 Damping surrounding the pile or pile damping on velocity wave at top of perfected pile

2.2 桩身材料阻尼对三层土地基中部分埋入黏弹性桩桩顶速度导纳和反射波的影响

图4 三层土中部分埋入黏弹性桩-土计算模型Fig.4 Calculation model of viscous-elastic pile-soil embedded partially in three-layered soil

2.3 软(硬)夹层厚度对三层土地基中部分埋入黏弹性桩顶速度导纳及反射波影响

体呈衰减状。低频时三条曲线差异较大，说明软夹层厚度对速度导纳值影响较大；而到达高频后三条曲线渐趋重合，说明桩材阻尼影响逐渐显现，软夹层厚度影响变得越不明显。 由图8知，随软夹层厚度增加，由桩顶首次到达软夹层顶部(即节点3处)反射波(传播路径12321)到达接收点时间越来越早，而软夹层底部(即节点4处)反射波(传播路径1234321)到达接收点时间越迟，4节点处反射信号越强烈经桩底(节点5)的反射波(传播路径123454321)信号越强。说明软夹层厚度增加，桩侧介质阻尼较小桩段占桩长比例增大，对桩内反射波能量耗散减弱。当然，桩材阻尼对波形弥散作用及信号强度衰减作用显而易见。

2.4 桩周土性参数对三层土地基中部分埋入黏弹性桩顶速度导纳及反射波影响

2.5 桩底土土性参数对三层土地基中部分埋入黏弹性桩顶速度导纳及反射波影响

图17 桩底土阻尼对黏弹性桩顶速度导纳影响Fig.17 Effect of damping at tip of pile on velocity admittance at top of viscous-elastic pile

图18 桩底土阻尼对黏弹性桩顶反射波影响Fig.18 Effect of damping at tip of pile on velocity wave at top of viscous-elastic pile

3 实例分析

图19 实测曲线Fig.19 Fitted curve

图20 理论曲线Fig.20 Measured curve

4 结 论

基于回传射线矩阵法，研究成层土中部分埋入黏弹性桩顶速度导纳及反射波，进一步分析软(硬)夹层厚度与桩周、桩底土性参数对桩顶时域及频域速度响应影响，结论如下：

(1) 桩身材料阻尼会使速度导纳曲线及桩底反射波发生衰减，并使桩底反射波产生弥散现象；桩侧介质阻尼会使速度导纳曲线各波峰值骤减而波谷幅值不变，亦会对桩底反射信号强度产生衰减作用，且对桩侧介质发生变化处反射波影响较大。

(2) 软夹层越厚速度导纳曲线各波峰值越大，各波谷幅值略微减小，桩底反射波信号亦越强；硬夹层越厚速度导纳曲线各波峰值越小，各波谷幅值越大，桩底反射信号强度越弱。

(3) 桩周夹层土刚度越大，速度导纳曲线在低频段向右偏移量越大，而高频时偏移现象消失；反射波随无量纲时间增大会出现渐增向下偏移量。桩周夹层土阻尼越大速度导纳曲线各波峰值减小，各波谷幅值增大；桩底反射信号强度越弱，而桩底反射波终止点之后的上抬量亦越大，并使土体阻尼变化段层面反射信号向下变化。

(4) 桩底土刚度越大，速度导纳曲线在低频时向右偏移量亦越大，但该偏移现象在高频时越不明显；桩底反射信号被扭曲，当桩底土刚度增大到一定程度后，反射波与入射波方向相反，桩底支撑由弹性支撑变为刚性支撑。桩底土阻尼越大桩顶速度导纳曲线越平缓，当该值增大到某一值时曲线上各点仅在H(ω)=1处作轻微上下振荡；桩底土阻尼对反射信号前期几乎无影响，桩底土阻尼越大桩底反射信号强度越弱。

[1] Van Koten H, Middendorp P, Van Brederode P. Analysis of dissipative wave propagation in a pile[C]// Proceedings of the International Seminar on the Application of Stress-Wave Theory on Pile,Stockholm: Bredenberg H, 1980:22-40.

[2] 王奎华,谢康和,曾国熙.有限长桩受迫振动问题解析解及应用[J].岩土工程学报,1997,19(6):27-35. WANG Kui-hua, XIE Kang-he, ZENG Guo-xi. Analytical solution to vibration of finite length pile under exciting force and its application[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 1997, 19(6): 27-35.

[3] 王奎华. 考虑桩体粘性的变阻抗桩受迫振动问题的解析解[J]. 振动工程学报,1999,12(4):513-520. WANG Kui-hua. An analytical solution to the forced oscillation of viscous pile with variable section impedance and its application [J]. Chinese Journal of Vibration Engineering, 1999, 12(4): 513-520.

[4] Pao Y H, Yu Y Y. Attenuation and damping of multi-reflected transient elastic waves in a pile[J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, 2011, 137(8): 571-579.

[5] 刘东甲. 不均匀土中多缺陷桩的轴向动力响应[J]. 岩土工程学报,2000,22(4):391-395. LIU Dong-jia. Dynamic axial response of multi-defective piles in non-homogeneous soil[J]. Chinese Journal of Geotechnical Engineering, 2000, 22(4): 391-395.

[6] 冯世进,柯瀚,陈云敏,等. 成层土中黏弹性变截面桩纵向振动分析及应用[J].岩石力学与工程学报,2004,23(16):2798-2803. FENG Shi-jin, KE Han, CHEN Yun-min, et al. Study on vertical vibration of visco-elastic pile with variable sections in layered soil.[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering, 2004,23(16):2798-2803.

[7] Howard S M, Pao Y H. Analysis and experiments on stress waves in planar trusses[J]. Journal of Engineering Mechanics, ASCE,1998,124(8):884-891.

[8] Pao Y H, Keh D C. Dynamic response and wave propagation in plane trusses and frames[J].Journal AIAA,1999,37(5):594-603.

[9] 余云燕,鲍亦兴,陈云敏. 埋置框架质量检测的探讨[J]. 力学学报,2006,38(3):339-346. YU Yun-yan, PAO Yi-xing, CHEN Yun-min. Discussion on quality testing of frame structure embedded partially in soil [J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2006, 38(3):339-346.

[10] 余云燕. 有缺陷埋置框架的波动响应及影响因素研究[J].振动工程学报,2007,20(2):194-199. YU Yun-yan. Studies on wave response of a defected frame structure embedded partially in soil and influence factors[J]. Chinese Journal of Vibration Engineering, 2007, 20(2):194-199.

[11] 余云燕. 成层地基中变模量埋置框架的波动响应研究[J]. 固体力学学报，2007,28(2):164-171. YU Yun-yan. Study on wave response of variable modulus of frame structure embedded partially in layered soil[J]. Acta Mechnica Solida Sinica, 2007, 28(2):164-171.

[12] 余云燕. 在埋置框架中应力波传播的影响因素分析[J]. 计算力学学报，2007,24(5):659-663. YU Yun-yan. Stress wave propagation and study on influencing factor in frame structure embedded partially in soil[J].Chinese Journal of Computational Mechanics, 2007,24(5):659-663.

[13] 余云燕,余莉芬. 均质土中半埋入完整桩的瞬态波动响应[J]. 兰州交通大学学报，2009,28(4):1-6. YU Yun-yan, YU Li-fen. Wave responses of integrate pile embedded partially in homogeneous soil[J]. Journal of Lanzhou Jiaotong University, 2009,28(4):1-6.

[14] 余云燕,余莉芬. 成层土中半埋入完整桩的瞬态波动响应研究[J]. 固体力学学报,2009,30(6):627-636. YU Yun-yan, YU Li-fen. Transient wave response of an integrated pile partially embedded in layered soil[J]. Acta Mechnica Solida Sinica, 2009,30(6):627-636.

[15] 余云燕，余莉芬. 均质土中部分埋入变模量桩的波动响应研究[J]. 振动工程学报，2010,23(2):200-205. YU Yun-yan, YU Li-fen. Transient wave of the pile with variable modulus embedded partially in homogeneous soil[J]. Chinese Journal of Vibration Engineering, 2010,23(2): 200-205.

[16] 余云燕,余莉芬. 均质土中半埋入变截面桩的瞬态波动响应[J]. 计算力学学报，2010,27(6):1061-1066. YU Yun-yan, YU Li-fen. Transient wave of the pile with variable sections embedded partially in homogeneous soil[J]. Chinese Journal of Computational Mechanics, 2010,27(6): 1061-1066.

[17] 余莉芬. 半埋入式缺陷桩的瞬态响应及波形识别[D]. 兰州：兰州交通大学,2008.

[18] Chen J F, Pao Y H. Effects of causality and joint conditions on method of reverberation-ray matrix[J]. AIAA Journal, 2003, 41(6):1138-1142.

[19] 袁春辉. 桩-土相互作用土参数的室内模型试验研究[D]. 兰州：兰州交通大学,2010.

Transient wave response of a viscous-elastic pile partially embedded in layered soil based on the method of reverberation-ray matrix

YU Yun-yan, YAO Dong

School of Civil Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou 730070, China)

Based on the method of reverberation-ray matrix, the velocity admittance curves of a viscous-elastic pile partially embedded in layered soil, caused by a vertical unit impulse at the top of pile were derived. The time-domain velocity responses of the pile, subjected to a semi-sine impulse at the top, were obtained with the help of the inverse Fourier transform and the convolution theorem. The velocity responses at the top of pile embedded partially in homogeneous soil were compared, considering either the pile material damoing or the soil damping surrounding the pile. The influences of soft(or hard)interlayer thickness, interlayer soil parameters and soil parameters at pile end on the velocity admittance and the reflection wave of pile top were analyzed in detail. The results show that: the pile material damping makes the velocity admittance and reflecting signals of pile top attenuate, and causes the dispersion phenomenon of reflecting wave at the bottom of pile. The changes of soil stiffness surronding pile and at pile end may generate an offset of the low frequency band curves of velocity admittance, while the changes of soil damping surronding pile and at pile end may have a bigger effect on velocity admittance and reflecting wave of pile top.

reverberation-ray matrix method; layered soil; viscous-elastic pile embedded partially in soil; transient wave; velocity admittance

国家自然科学基金资助(51268031)；甘肃省高校基本科研业务费专项基金资助(212098)；甘肃省基础研究创新群体(145RJIA332)

2014-04-28 修改稿收到日期：2014-07-01

余云燕 女，博士，教授，1968年生

TU473

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.011