浅球壳型双稳振动能量收集器件结构优化设计

彭利明， 王 永， 黄志龙

浙江大学 工程力学系，杭州 310027)



浅球壳型双稳振动能量收集器件结构优化设计

彭利明， 王 永， 黄志龙

浙江大学 工程力学系，杭州 310027)

以浅球壳型双稳振动能量收集器件为研究对象，导出宽带随机激励下以能量收集效率最大为目标的结构优化设计方案。应用假设模态法及Lagrange方程法导出浅球壳结构非线性随机微分方程。采用稳态期望穿阈率描述结构跳变频率，并选取壳体处于底圆位置的应变能衡量每次跳变可收集能量。以稳态期望穿阈率与参考应变能乘积构造可收集功率概念，可收集功率可平衡跳变频率与每次跳变相应的可收集能量。以可收集功率最大为目标，导出最优无量纲几何参数与最优无量纲可收集功率。因其具有无量纲本质，该结构最优设计方案具有普适性。

振动能量收集；双稳；浅球壳；宽带随机激励；穿阈率；可收集功率

由于电子器件微型化及环境振动能量广泛存在性，对振动能量收集技术研究迅猛发展[1-5]。振动能量收集技术基于线性共振现象，频带较窄。仅当外激频率固定并与振动能量收集器件基频匹配时该器件才能高效工作，外激频率在收集器件基频附近小摄动亦会大幅减小输出功率。尽管已发展许多技术用于拓展线性振动能量收集器件有效带宽，如振子阵列、多模态振子、主被动频率调节技术等[6]，但这些技术或多或少存在问题，如能量密度较低、需外界能量输入等[7-8]。故更多高等宽带振动能量收集技术颇受关注。

通过磁吸引、磁排斥及机械技术等人为引进刚度非线性，即可构建非线性振动能量收集器件。引进刚度非线性能在较宽频带内增强收集器件与外激耦合，为拓宽有效带宽的潜在方法[9-11]。基于势能函数特征，非线性能量收集器件可区分为单、双稳两类。单稳非线性能量收集器件基于非线性共振现象，幅频特性曲线偏移使系统在较宽频带内具有高、低能量两种响应。充分利用该特性，可使其在较宽频带内具有大的系统响应。然而，为使单稳非线性能量收集器件产生高输出功率，须使振动维持在高能量。而对硬、软化非线性，分别要求外激为升频频扫、降频频扫才能实现，实际环境中较难控制。此外，环境振动的随机本质亦严重制约单稳非线性能量收集技术的应用。

在周期或随机外激作用下，双稳结构状态可在两稳定态间切换[12-13]。利用该现象可使双稳振动能量收集器件在外激作用下发生大幅振动从而产生高输出功率。因双稳结构各稳态间切换对外激频率要求不严格，故双稳能量收集器件能收集相当频宽的振动能量。对通过磁吸引、磁排斥技术实现双稳研究表明，双稳能量收集技术在有效频宽、输出功率两方面均有大幅提高。然而，引入磁铁限制了器件微型化，并会干扰周边元器件信号，劣化其性能。机械技术直接利用本身具有双稳势的具初曲率结构，其双稳特性完全由结构自身内在特性决定，无需外在因素。因此该方式不会限制器件微型化，较通过磁铁构造双稳势方案具有极大优势[14]。基于此的振动能量收集技术研究处于起步阶段，在结构上仅涉及具中心配重的后屈曲压电梁[15]及具初始曲率的压电曲板[16-17]。前者从理论、实验两方面研究了双稳机制在确定性、随机外激作用下能量收集中的应用，给出后屈曲程度对收集效率影响；后者实验研究双稳曲板宽带能量收集效率，并在理论上从静态跳变角度讨论曲板尺寸及电极布置的优化问题。浅球壳结构为另一典型的双稳结构，较后屈曲梁，该结构由于可布置大面积压电层，故而可产生更多电荷及更大输出信号；较曲板技术，该结构在微电子工艺中更易实现，通过层状结构各层间应变错配，可由温度控制轻易实现具任意曲率浅壳，而曲板两曲率同时控制难以实现[18]。因此，浅球壳型双稳振动能量收集技术具有重要研究价值，但迄今尚无涉及该方面研究。

本文以浅球壳型双稳振动能量收集器件为研究对象，探讨宽带随机激励作用下以输出功率最大为目标的结构优化设计问题。严格讲，应先导出输出功率与结构参数之关系，再求导最优参数值。然而，由于结构连续性、机电耦合特性及激励随机性，该方法不易实施。为导出简单宜用的结构优化设计方法，从纯结构角度出发，以宽带随机激励作用下结构跳变频率及典型状态应变能乘积构造可收集功率概念，以可收集功率最大为目标优化结构参数。

1 浅球壳结构非线性随机微分方程建立

图1 浅球壳几何模型及坐标系统Fig. 1 Geometry and reference frame of shallow spherical shell

浅球壳型双稳振动能量收集器件由浅球壳结构与轴对称分布的压电层组成。外界载荷作用下浅球壳结构发生振动，压电层通过压电效应产生信号对负载供电。由于压电层厚度较浅球壳结构小得多，故可忽略压电层刚度对系统动态响应影响；负载电路消耗系统能量，可视为等效阻尼附加于结构。因此，当仅分析系统动态响应时，可考虑具有附加阻尼的无压电层浅球壳结构。该结构几何尺寸、约束、载荷及坐标系见图1。其底圆半径为a，厚度h，壳高d，中曲面曲率半径R，球壳周边简支。上表面受均布随机压力ξ(t)作用，ξ(t)为零均值Gauss白噪声，强度为2D。材料各向同性，弹性模量E，泊松比υ。球壳上任一点由中曲面的正交曲线坐标φ，θ及沿中面法向指向壳体凹侧坐标z描述。在轴对称载荷作用下，该球壳中曲面任一点位移仅依赖于φ值，与θ无关。为方便，在底圆平行圆半径方向引入新坐标r，则有v=0，u=u(r,t)，w=w(r,t)。

对浅球壳而言，由于φ值很小，故可引入近似关系r≈Rφ，cosφ≈1，sinφ≈φ，应变-位移关系可表示为

(1)

曲率变化分量为

(2)

内力表达式为

(3)

浅球壳面内平衡方程为

(4)

式中：A，B为拉梅系数。

由于A=R，B=Rsinφ≈Rφ≈r，面内平衡方程可简化为

(5)

将式(1)、(3)代入式(5)，整理得面内位移u、出面位移w非线性微分关系为

(6)

h2q(t)2R(3-υ)]

(7)

通过Lagrange方程建立浅球壳动力学方程。浅球壳应变能[20]表达式为

(8)

式中：S为全域积分。

式(8)积分可转化为对坐标r，θ的积分，积分限为[0,a]及[0,2π]，得

(9)

主动力虚功之和为

(10)

得广义力为

(11)

设m为浅球壳中面单位面积质量，ε为结构阻尼系数，则系统动能表示为

(12)

耗散函数[21]表示为

(13)

将上述表达式代入Lagrange方程，整理得关于q(t)的运动控制方程为

(14)

据此方程研究浅球壳结构的跳变行为，进而导出浅球壳型双稳振动能量收集器件结构优化设计方案。

2 双稳势存在条件及跳变行为说明

自由状态下，浅球壳平衡位置可通过分析方程(14)得到。平衡位置由刚度零点或势能极值导出，即由式(15)确定

(15)

求解得3个解为

(16)

图2 浅球壳势能曲线Fig. 2 Potential energy curve of shallow spherical shell

由式(14)出发，给出白噪声激励下浅球壳结构随机响应样本，说明浅球壳结构动态跳变行为。选一组特定参数ε/m=0.05，mh=1/3，Eh3/(4ma4)=0.001，D=0.06，υ=0.3，k=18，采用龙格-库塔法数值求解式(14)，得典型样本曲线见图3，时间单位为s。由图3可知，浅球壳运动含3种特征，即分别围绕两平衡位置的随机振动及在两平衡位置间的随机跳变。载荷的随机性致跳变时间亦呈随机性。

图3 浅球壳跳变行为Fig.3 Snap-through behavior of shallow spherical shell

3 期望穿阈率确定

由于浅球壳结构每次跳变均对应一次大的变形改变，大变形改变相应于大电信号输出。若每次跳变产生的输出信号相当，则跳变越快输出功率越大。因此，估计单位时间内发生的跳变次数即穿阈率，对衡量浅球壳型双稳振动能量收集器件性能具有重要意义。由于激励的随机性，特定时刻的穿阈率为随机变量，需通过穿阈率均值即期望穿阈率衡量跳变频率。此外，期望穿阈率随时间变化而变化，表现出演化特性。对能量收集技术而言，考虑瞬态期望穿阈率意义不大，故本文局限于对稳态期望穿阈率研究。

式(14)写成标准形式为

(17)

式中：

(18)

其稳态联合概率密度[22]为

(19)

由归一化条件得归一化常数C为

(20)

(21)

穿越上述阈值的期望穿阈率可通过稳态概率密度导出，即

(22)

将式(19)代入式(22)并整理得

(23)

图4 稳态期望穿阈率υa随无量纲参数k变化(离散点：蒙特卡洛模拟结果)Fig.4 Variation of the stationary ratio of expectation crossingυa with the non-dimensional geometric parameterk(discrete points: results from Monte Carlo simulation)

稳态期望穿阈率υa随浅球壳无量纲几何参数k=a2/(Rh)的变化关系见图4。系统参数取ε/m=0.05，mh=1/3，Eh3/(4ma4)=0.001，D=0.06，υ=0.3。由图4可见，随无量纲几何参数k的增大稳态期望穿阈率υa减小。在底圆半径a及壳体厚度h保持不变条件下，无量纲几何参数k增大相应于壳体曲率半径R减小，跳变更难实现，与分析结果一致。当无量纲几何参数k较大时稳态期望穿阈率趋于零，对应于几乎无跳变发生，浅球壳围绕其中一个平衡位置振动。通过与蒙特卡洛模拟结果比较知，其中离散圆点为模拟结果。分析解及模拟解的一致性证实理论方法的有效性。

4 可收集功率定义及结构优化设计

在底圆半径a及壳体厚度h保持不变条件下，浅球壳曲率半径R越大越易发生跳变，或谓期望穿阈率越大。而对大曲率半径R，每次跳变变形改变较小即输出能量较小。期望穿阈率及每次跳变输出能量为一对矛盾，1个变大时另个必减小。振动能量收集器件的结构优化设计以输出功率最大为目标，要求权衡期望穿阈率及每次跳变的输出能量。由于每次跳变的输出信号及变形改变有直接关系，对压电型器件而言，为简单线性关系，可考虑用典型状态参考应变能替代对每次跳变产生的输出能量衡量。将稳态期望穿阈率与参考变形能相乘，可构造所谓可收集功率概念。结构优化设计通过可收集功率最大为目标实现。

选浅球壳结构处于平行圆位置时的应变能为参考应变能，即

(24)

参考应变能U*24a2/(πEh5)随浅球壳无量纲几何参数k=a2/(Rh)的变化关系见图5，其中泊松比υ=0.3。由图5可见，随k的增大U*增大。

图5 参考应变能随无量纲几何参数变化关系 Fig.5 Variation of the referred deformation energy with the non-dimensional geometric parameter

定义可收集功率为

P=U*υa

(25)

由图4、图5可见，该定义体现了无量纲几何参数k=a2/(Rh)变化时稳态期望穿阈率υa与参考应变能U*竞争关系。将式(24)、(23)代入上式，整理得

(26)

式中：A，I均为无量纲量，即

(27)

式(26)左端项亦为无量纲量，为无量纲可收集功率。由式(27)可见，I仅依赖参数A、泊松比υ及几何参数k。因此式(26)右端项也仅依赖于这些参数。对给定的泊松比υ及参数A，可得最优无量纲几何参数及可收集功率。

图6 无量纲可收集功率随无量纲几何参数变化关系Fig.6 Variation of the non-dimensional harvestable power with the non-dimensional geometric parameter

对给定泊松比值υ=0.3，浅球壳型双稳振动能量收集器件最优无量纲几何参数k及最优无量纲可收集功率随无量纲参数A的变化关系，见图7、图8。由二图可见，随A增大k及无量纲功率减小，且该趋势对任意泊松比成立。对给定A=10-8，浅球壳型双稳振动能量收集器件最优无量纲几何参数k及最优无量纲可收集功率随泊松比υ的变化关系见图9、图10。由二图可见，随υ增大k减小而最优无量纲可收集功率增大。由于无量纲本质，上图可认为浅球壳型振动能量收集器件结构优化的普适设计图。对给定材料参数、激励参数、阻尼系数、壳体厚度及底圆半径，可由图7直接得到最优无量纲几何参数k，进而直接给出最优曲率半径值。因此，该方法对浅球壳型振动能量收集器件结构优化设计具有重要意义。

图7 最优无量纲几何参数对无量纲参数依赖关系Fig.7 The dependence of optimal non-dimensional geometric parameter on the non-dimensional parameter

5 结 论

(1) 提出浅球壳型双稳振动能量收集器件结构优化设计方案。通过假设模态法及Lagrange方程法导出控制浅球壳结构响应的非线性随机微分方程；以壳体顶点到底圆中心距离为阈值， 通过结构随机响应的稳态联合概率密度表示稳态期望穿阈率；选壳体处于底圆位置状态的应变能为参考应变能，衡量每次跳变可收集的能量总量；通过稳态期望穿阈率与参考应变能乘积构造可收集功率概念，可收集功率可平衡跳变频率与每次跳变的可收集能量。以可收集功率最大为目标，给出最优无量纲可收集功率值。

(2) 通过研究知，浅球壳型双稳振动能量收集技术为对屈曲梁型及曲板型双稳振动能量收集技术的补充，并在微电子制备工艺上具有优势；由于双稳结构的强非线性特性及机电耦合效应的复杂性，引入可收集功率概念，导出形式简洁的结构最优设计公式。因具无量纲本质，该公式对浅球壳型双稳振动能量收集器件结构优化设计具有普遍适用性。

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Structural optimum design of shallow spherical shell-type bistable vibration energy harvester

PENG Li-ming, WANG Yong, HUANG Zhi-long

Department of Engineering Mechanics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China)

A shallow spherical shell-type bistable vibration energy harvester was investigated, and its structural optimum design was achieved by maximizing the efficiency of the energy harvesting. A nonlinear stochastic differential equation was derived by using the assumed mode method and the Lagrange procedure. The stationary rate of expectation crossing was adopted to describe the frequency of snapping through, while the deformation energy of the shell lying at the bottom circle position to describe the harvestable energy in each snapping through. The concept of harvestable power was introduced and it is expressed as the product of stationary rate of expectation crossing and referred deformation energy, which can make a balance between these two indexes. The optimal non-dimensional geometric parameters and the associated optimal non-dimensional harvestable power were then derived by maximizing the harvestable power. Due to the non-dimensional property, the proposed structural optimum design method keeps universality.

vibration energy harvesting; bi-stable; shallow spherical shell; wideband random excitation; rate of crossing; harvestable power

国家自然科学基金项目(11025211, 11302064)

2014-03-10 修改稿收到日期：2014-06-19

彭利明 男，硕士生，1990年7月生

王永 男，副教授，1979年9月生

O324

A

10.13465/j.cnki.jvs.2015.14.005