一类非线性晶体界面表面波的渐近解*

史娟荣，林万涛，莫嘉琪

(1. 安徽机电职业技术学院, 安徽 芜湖 241002；2. 上海交通大学数学系, 上海 200240；3. 中国科学院大气物理研究所∥大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室, 北京 100029；4. 安徽师范大学数学系, 安徽 芜湖 241003)



一类非线性晶体界面表面波的渐近解*

史娟荣1,2，林万涛3，莫嘉琪4

(1. 安徽机电职业技术学院, 安徽 芜湖 241002；2. 上海交通大学数学系, 上海 200240；3. 中国科学院大气物理研究所∥大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室, 北京 100029；4. 安徽师范大学数学系, 安徽 芜湖 241003)

研究了一类晶体界面非线性表面波。首先考虑了对应的晶体界面表面波方程，引入一个新的具有限制变量的泛函，并求出其变分。再利用变分原理，构造了一个经过改进后的广义变分迭代式。然后选取相应问题解的初始函数，并由新的迭代关系式依次求出各次渐近解析解。举例说明了用本方法求得的渐近解具有较好的近似度。最后叙述了得到的渐近解的物理意义。

表面波；渐近解；变分；晶体

光折变晶体中的空间表面波理论一直是学者关注的热点。上世纪末到本世纪初首先提出了光折变表面波的理论，论述了关于扩散机理下光折变表面波的传播情况。并讨论了线性介质与光折变晶体界面表面波的形成过程和表面波的传播的稳定性。近来讨论了在LiNbO3:Fe晶体与空气界面观察到了亮表面波，在界面处由晶体内载流子扩散机理引起的光束弯曲和反射相平衡而形成的一种光波。其特点是将光波传播限制在光折变晶体近表面的狭层内, 使得界面处具有很高的光能量和功率密度，这在光通信及光信息处理等方面有很高的研究和应用价值[1-6]。由于高激发效率的表面波在应用中具有功耗低，速度快等优点。所以研究提高表面波的激发效率成为表面波应用的重要方面。

非线性微分方程的精确解，一般不能用有限项的初等函数来表示。故用近似的方法来求非线性方程的渐近解析解显得十分重要[7-8]。作者等也利用各种渐近方法来得到相关的非线性方程的渐近解析解[9-22]。本文是用经过改进的广义变分迭代的新方法，来求得一类晶体界面非线性表面波的渐近解析解。

1 晶体界面表面波方程

(1)

(2)

其中φ为波导参数，μ为扩散强度，α为光伏强度，方程(2)右端各项依次为晶体中光波的衍射效应、光束和边界的相互作用、光伏机理的自散焦和扩散机理的自弯曲效应。光束以一定角度入射到LiNbO3晶体界面，当电荷扩散效应产生的光束自弯曲与全内反射相平衡时，光生伏打光折变晶体，光激发载流子是电子，并可取光伏强度α<0。

(3)

(4)

显然，方程(3)的解为

(5)

其中m为非线性作用强度的可变参量，它由入射光束初始强度决定。考虑到方程的解u和du/ds在界面s=0的连续性，由式(5)可决定方程(4)的终值条件。于是我们便有如下的光波沿s(s<0)方向LiNbO3晶体满足的傍轴方程的模型

(6)

2 晶体界面模型解

首先将方程(4)改写为

(7)

为了求得晶体界面内的非线性问题(6)-(7)的渐近解析解，我们用新的经过改进的广义变分迭代方法。

引入一个泛函F[u][23-24]

(8)

令δF=0，得

(9)

(10)

不难得到初值问题(9)-(10)的解λ(ξ)为

(11)

再由式(8)和式(11)，构造一个经过新的广义变分迭代

(12)

其中u0为初始近似。

3 模型的渐近解

首先决定晶体界面内非线性模型解的广义变分迭代的初始近似u0(ξ)。

选取初始近似u0(ξ)为方程(7)的线性部分及初始条件(6)所组成的问题的解。即u0(ξ)满足如下终值问题

(13)

(14)

不难得到模型(13)-(14)的解u0(s)为

s≤0

(15)

于是由式(12)，我们可得晶体界面内非线性模型(6)-(7)的一次渐近解析u1(ξ)

(16)

其中u0由式(15)表示。

再由式(12)，我们可得晶体界面内非线性模型(6)-(7)的二次渐近解析u2(ξ)

(17)

其中u0,u1分别由式(15)、式(16)表示。

继续由迭代式(12)，我们可得晶体界面s=0内非线性模型(6)-(7)的更高次的渐近解析解un(s)(n=3,4,…)。

再由关系式(5)，我们便得到通过晶体界面光波的模u(s)在晶体界面s=0附近的广义变分迭代第n次渐近解析解。

4 渐近解的精度

为了说明问题，不妨简单设b=φ=m=μ=1,α=-1。这时晶体界面内光波模的非线性模型(6)-(7)为

s<0

(18)

(19)

由式(15)，晶体界面内光波模的模型(18)-(19)的初始近似函数u0(s)为

s≤0

(20)

再由广义变分迭代式(16)，得到晶体界面内光波模的模型(18)-(19)的一次、二次近似函数u1(s),u2(s)。

(21)

其中u0由式(20)表示。

(22)

其中u0,u1分别由式(20)、式(21)表示。

晶体界面s=0内左半面(s≤0)附近非线性模型(16)-(17)的光波的模u(s)的模拟精确解曲线uexa(s)，一次、二次广义变分迭代渐近解u1(s),u2(s)的曲线见图 1和表 1所示。

表1 晶体界面左半面附近光波的模u(s)的模拟数值比较1)

1)uexa为精确解,u1为一次渐近解,u2为二次渐近解

图1 晶体界面左半面附近光波的模u(s)的曲线比较Fig.1 Curve comparison for models to the light waves near left half-plane

从图 1和表 1可以看出，二次渐近解u2(s)比一次渐近解u1(s)更接近精确解uexa(s)。

继续由广义变分迭代式(12)，可依次得到晶体界面内非线性模型(18)-(19)的更高次近似函数un(s)(n=3,4,…)。再由(5)式，得到通过晶体界面光波的模u(s)在通过界面s=0附近的广义变分迭代n(n=3,4)次渐近解析解。

由泛函分析变分原理和本方法的渐近理论知，晶体界面s=0内部光波的模u(s)所对应的高次的变分迭代解比低次的变分迭代解更接近与精确解。

5 晶体界面模型解的物理意义

由于晶体界面s=0内部光波的模u(s)是通过广义变分迭代方法得到的近似解析解，所以它还可以通过解析运算得到与光波模相关的物理量的渐近式。例如，可得如下相关物理量的近似解析式。

5.1 光波强度

由渐近光波模un(s)的解析式来得到晶体表面s=0附近的光波强度函数的n次渐近式：

其中Id为晶体中的暗辐射值。

5.2 光波模变化率

由光波的n次渐近模un(s)可求出它的的变化率为

5.3 光波功率

由n次渐近光波模un(s)的解析式来得到晶体表面s=0附近a≤s≤0内的光波功率P的n次渐近式Pn

(23)

5.4 光波功率控制

5.5 传播系数和入射光束角度的关联

随着光波功率的递增，受扩散非线性的影响，晶体内的表面波衰减的距离逐渐缩短，大部分能量逐渐向晶体界面集中。我们可以通过调节入射光束与晶体的s轴的夹角(0°～90°)来调节传播参数b。

6 结 论

讨论了晶体界面表面波方程，利用新的经过修改的广义变分迭代方法依次得到了晶体界面s=0内附近的光波的模u(s)的各次渐近解析式un(s)(n=1,2,…)。根据泛函分析变分原理，利用对应的线性方程的解作为本非线性问题解的初始近似，由此得到的迭代解序列{un(s)(n=1,2,…)}具有较快地接近于精确解的优点，且随着un(s)的次数的增大而更接近于精确解。

得到的各次渐近解是解析式还可对它们进行解析运算，我们可由得到的光模的各次渐近解析式通过微分、积分等解析运算来进一步得到相关的物理量的渐近表示式。扩展了问题讨论的范围。然而, 用单纯数值模拟的方法是达不到的。

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Asymptotic Solution on a Class of Nonlinear Surface Waves along the Boundary of Crystal

SHIJuanrong1,2,LINWantao3,MOJiaqi4

(1. Anhui Technical College of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhu 241002, China; 2. Department of Mathematics, Shanghai Jiaotong University, Shanghai 200240, China; 3. State Key Laboratory of Numerical modeling for Atmospheric and Geophysical Fluid Dynamics∥ Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China; 4. Department of Mathematics, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

A class of nonlinear surface waves along the boundary of crystal is studied. Firstly, the surface wave equation along the boundary of crystal is built. Leading into a functional with the new restricted variation and its variational is calculated. Secondly, a new improved generalized variational iteration is structured. Then the initial function of solution for corresponding problem is structured. From the new variational iteration, the each time asymptotic analytic solution is found successively. And from example, the accuracy of solution is very good by using this method. Finally, the physical meaning of obtained asymptotic solution is related.

surface waves; asymptotic solution; variational; crystal

10.13471/j.cnki.acta.snus.2015.06.008

2015-07-28 基金项目：国家自然科学基金资助项目(41275062) ；安徽省教育厅自然科学基金资助项目(KJ2015A418，KJ2015A347)

史娟荣(1981年生)，女；研究方向：应用数学；通讯作者: 莫嘉琪；E-mail:mojiaqi@mail.ahnu.edu.cn

O

A

0529-6579(2015)06-0041-05