旋转长基线干涉仪的系统偏差联合估计方法

吴癸周，张 敏，郭福成

（国防科技大学电子科学与工程学院，湖南长沙410073）

旋转长基线干涉仪的系统偏差联合估计方法

吴癸周，张 敏，郭福成

（国防科技大学电子科学与工程学院，湖南长沙410073）

针对旋转长基线干涉仪（rotating long baseline interferometer，RLBI）定位系统中接收通道幅／相不一致性、机械加工误差、基线的安装偏差等因素对定位的影响，建立了RLBI系统偏差的模型，证明了基线转角偏差和转轴偏角两种系统偏差的等效性，给出了理论定位偏差的计算方法，指出了引起显著定位偏差的系统偏差，对此提出了一种基于已知位置标校站的系统偏差联合估计的高斯牛顿迭代方法。仿真分析表明，该方法的估计性能可达到克拉美-罗下限（Cramer-Rao lower bound，CRLB），基于单标校站估计和标校系统偏差即可显著提高系统的定位性能。

干涉仪；偏差；估计；旋转

0 引 言

旋转长基线干涉仪（rotating long baseline interferometer，RLBI）通过观测多个不同时刻的模糊相位差可直接实现测向［1- 2］和高精度定位［3- 6］。相对于传统的多通道干涉仪［7- 9］通过增加器件数量［10- 11］、采用复杂的处理算法［12- 14］解相位差模糊再定位，该技术最少仅需要两个天线和接收通道，可以有效解决系统复杂度与定位精度之间的矛盾［15- 16］，近年在电子侦察等领域受到广泛关注。在实际的RLBI系统中，除了受到各类参数测量随机误差的影响外，还受各通道幅／相不一致性的影响，会导致相位差测量存在固定的偏差；基线机械加工水平的限制，可能导致实际的基线长度与标称的基线长度也存在一个偏差；另外，受限于干涉仪的安装精度，还会出现基线转角偏差、基线倾角等系统偏差，这些系统偏差在短时间内是固定不变的，可能会造成显著的定位偏差，因此需对其采用一定手段和方法进行估计，以消除此类误差。

文献［17］通过处理干涉仪测量得到的特定数据，可以给出准确的相位误差概率密度函数以及方差，据此可以从理论上提高干涉仪测量精度，但是并没有具体分析影响干涉仪测量精度的误差及其估计或校正方法；文献［18］提出了一种干涉仪相位一致性校正的方法，该方法主要通过添加一种改进的自检源，自检时按照固定步进生成一个动态的校正表，可以满足不同频点的通道相位一致性校正，但是在同时存在多种系统偏差的情况下会非常复杂；文献［19］提出了一种可以大幅减少干涉仪幅相不一致性误差的校正方法，可以大幅减少相位误差到2°，但是该方法主要针对多模干涉型耦合器；文献［20］给出了一种圆阵干涉仪测向的方法，并采用标校源对其相位不一致性进行估计和校正，文献［21］利用干涉仪结构特点可以估计其幅／相的误差，但是以上两篇文献针对的主要是圆阵排列的干涉仪；文献［22］基于多个已知位置的标校站，可以同时估计基线转角偏差和基线长度偏差，但只是针对固定基线干涉仪进行研究，并不能解决RLBI系统偏差的估计问题。文献［23］对旋转基线干涉仪在各项误差条件下的定位精度进行了详细分析，但是并没有针对其中的系统偏差提出相应的估计或校正方法；文献［24］针对时变基线干涉仪系统，提出了一种参数化联合估计目标位置以及相位差偏差的方法，可以同时估计目标位置以及相位差系统偏差，但并没有考虑对基线转角偏差等系统偏差的估计。

本文首先建立了RLBI系统偏差模型，在典型场景下对比分析了各类系统偏差引起的定位偏差，并分析了相位差独立噪声条件下各类系统偏差估计理论的克拉美-罗下限（Cramer-Rao lower bound，CRLB），为消除影响较大的系统偏差，提出了一种基于已知位置标校站的系统偏差联合估计的高斯牛顿（Gauss-Newton，GN）方法，最后通过仿真并与CRLB相对比，验证了该方法的有效性。

1 RLBI系统偏差模型

在实际的RLBI系统中，根据信号的测量和旋转面、旋转轴、参考坐标系之间的关系，RLBI系统偏差可以分为3类：第1类为信号测量系统偏差，主要包括由于干涉仪幅／相不一致性造成的相位差测量系统偏差bφ，该偏差使得测量的相位差存在一个固定偏差；测频技术受限造成的测频偏差bf。第2类为基线系统偏差，主要包括因基线机械加工偏差造成的基线长度偏差bd，它会造成基线扫过的圆周半径增大或减少；因安装偏差造成的基线转角偏差bθ，该偏差使得基线的零角度指向与参考坐标轴（如X轴）指向不重合，这将导致基线方位角存在一个固定的偏差，使得基线指向矢量产生时变的偏差；因安装偏差造成的基线与旋转轴不正交，这会产生基线垂直倾角ε，该偏差使得旋转基线扫过的区域形成两个顶点对接的圆锥，而不是一个圆，该偏差同样造成基线指向矢量存在时变的偏差。第3类主要由基线的旋转轴与参考坐标轴（如Z轴）不重合造成的，为描述这一偏差需要两个偏角，以参考坐标轴Z轴为例，这两个偏角分别为旋转轴偏离Y轴的角度ζ，旋转轴偏离Z轴的角度γ，分别称之为转轴偏角和转轴倾角，定位坐标系先绕Z轴旋转ζ，然后绕Y轴旋转γ即可得到定位坐标系。第2类和第3类各项系统偏差如图1所示，O′为基线中点在XOY平面的投影，OS为转轴；A1、A2分别为基线两端的天线，虚点线表示偏大的基线。

实际的RLBI系统，可能3类系统偏差同时存在。

假设观测的辐射源载频为fm，相位差为φm，观测的基线长度为dm，观测的基线转角为θm，则有

式中，m＝1，2，…，M，M为观测到的信号次数；δ代表各项随机误差，假设所有随机误差均满足零均值高斯分布；b代表各项系统偏差；上划线代表各项真实值。对应的基线指向矢量为

式中

Rz（－ ）和Ry（－γ）分别表示矢量绕Z轴和Y轴旋转－ 角度（逆时针为正）和－γ角度的旋转矩阵。

图1 旋转基线干涉仪系统偏差示意图

对应的无模糊相位差为

式中，um为第m次观测时的单位视线列矢量，表示为

式中，xom为第m次观测时，观测站位置列矢量；xtm为第m次观测时，目标位置列矢量。

根据上述模型，分析基线转角偏差bθ和转轴偏角 的关系。

定义基线的零角度指向与参考坐标系的零指向轴（如X轴）之间的偏角为基线转角偏差bθ；转轴偏离参考坐标轴Y轴的角为转轴偏角 ；转轴偏离参考坐标轴Z轴的角为转轴倾角γ，如图1所示。根据分析，命题描述如下：

命题1若基线转角偏差bθ与转轴偏角偏差 相等，在转轴倾角γ为0时，两者对基线指向矢量的影响相同；在转轴倾角γ不为0且γ≪π／4时，两者对基线指向矢量的影响近似相同。

证明由式（2）和式（3）可得在各项系统偏差的影响下，基线的指向矢量变为

当γ较小且γ≪π／4时，有sinγ≈0，cosγ≈1。式（8）可以化简为

从式（9）可以看出，基线转角偏差和转轴偏角都通过改变基线指向矢量的X、Y坐标对其造成影响，并且若bθ＝ ，则两个偏差造成的基线指向矢量偏差近似相等，当γ＝0，则等号可成立。

证毕

由命题1可知，由于基线转角偏差bθ和转轴偏角 具有等效性，若对基线转角偏差和转轴偏角进行联合估计，其中一个量将会影响另外一个量的估计，因此两者无法作为独立估计量同时进行联合估计。本文后面推导过程中，仅对基线转角偏差bθ进行估计和校正。

2 偏差对定位精度的影响

由于非线性的影响，不同的系统偏差对定位结果造成不同的影响。下面分析各系统误差对定位精度的影响。当基线长度大于辐射源半波长时，相位差会出现模糊，因此将M次观测的相位差写为矩阵形式，可得

高斯随机误差假设下的最大似然定位估计为

式中

式中，Qz为不同种类的系统偏差等效成的相位差随机误差的协方差矩阵，其中Q表示各个量随机误差的协方差矩阵；H为φ′关于各个量的偏导数（雅克比矩阵，M×M方阵）。

式（14）中Hf为φ′关于载频偏差的偏导数，表示为

Hd为φ′关于基线长度偏差bd的偏导数，表示为

Hθ为φ′关于基线转角偏差bθ的偏导数，表示为

Hε为φ′关于基线垂直倾角ε的偏导数，表示为

式中

Hγ为φ′关于转轴倾角γ的偏导数，表示为

式中

将式（11）化简，可得

式中，E＝［1 1 … 1］M；δφ为相位差随机误差组成的行向量；xe为估计的目标位置列矢量；xt为目标真实位置列矢量；D（H）＝diag（H）表示取方阵H主对角线元素形成的列向量；Ht为φ′对目标位置的偏导数，表示为

式中，um为目标与观测站的距离。

因此，等效成的相位差系统误差矢量为

由随机误差引起的理论定位协方差矩阵为

由系统误差引起的定位偏差

总的定位均方误差为

根据上述分析进行仿真实验：观测站位置［0 0 500］（单位：km），观测站速度为［300 0 0］（单位：m），干涉仪旋转周期为2s／r；目标辐射源载频为3 GHz，重频为100 Hz，基线长度为1.5 m；相位差随机误差为5°，累积时间为2 s，在充分考虑实际情况的条件下，设定各系统偏差分别为载频系统偏差bf＝500 k Hz，相位差系统偏差bφ＝15°，基线长度系统偏差bd＝1 mm，基线转角偏差bθ＝1.5°，基线倾角偏差ε＝1.5°，转轴倾角γ＝1°。对不同俯仰角的目标进行了仿真，得到的各偏差引起的定位偏差如图2所示。

图2 各系统偏差对定位精度的影响

从图2可以看出，部分系统偏差对定位结果的影响比较大，尤其是当俯仰角较小时，造成的定位偏差是无法接受的。在上述设定的场景中，引起定位偏差从大到小依次为转轴倾角γ、基线转角偏差bθ、基线倾角ε、基线长度偏差bd、载频偏差bf、相位差系统偏差bφ。其中，相位差系统偏差bφ和载频偏差bf引起的定位偏差极小，可以忽略不计。

因此本文在考虑上述场景的情况下，对转轴倾角γ、基线转角偏差bθ、基线倾角ε、基线长度bd这4项系统偏差进行联合估计，消除引起的定位偏差。

3 系统偏差联合估计方法

利用地面已知位置的单个或多个辐射源，可联合估计出多种系统偏差［21］。基于标校站的系统偏差联合估计法原理如图3所示。

图3 基于标校站系统偏差估计原理图

首先考虑只有一个标校站，假设在一段时间内，观测到M个信号。则将该标校站观测到的相位差写为矩阵形式为

式中，系统偏差矢量为

式（33）中，系统偏差矢量的元素个数根据需要联合估计的偏差个数确定。

对于高斯白噪声随机误差，由最大似然估计得

为了解模糊，可以通过提高标校源信号的发射功率从而降低观测噪声协方差，使得相位差系统偏差和随机误差引入的等效误差小于π，即

这样，系统偏差估计问题可转换为

由最大似然估计得到的代价函数为

采用GN［25］算法迭代计算，获得估计值为

式中

式中，Qφ为相位差随机误差协方差矩阵；JB为φ′关于各项系统偏差B的雅克比矩阵，表示为

迭代结束条件为

式中，k为当前迭代的次数；kmax为最大迭代次数；th为一个较小的门限值。

采用GN算法需要获得估计值的初值，并且当其初值与真值相差很大时无法保证收敛，因此需要求得合理的初值。一种稳妥的方法是在各个偏差可能出现的最大值范围内以一定的规律（如均匀分布）进行划分［13］。得到的各个偏差划分值进行遍历组合，获得多组估计的初值，如式（44）所示。

式中，n＝1，2，…，N，N＝NdNθNεNγ，Nd、Nθ、Nε、Nγ分别为各项系统偏差的划分总数。然后对N组初值进行迭代，取代价最小的估计值作为最终的估计结果，表示为

式中，C（Bn）如式（38）所示。

4 系统偏差联合估计CRLB计算

CRLB等于Fisher矩阵的逆［20］，Fisher矩阵为

式中，p（φ｜B）为相位差φ关于B的条件概率密度函数。化简式（46）可得

式中，σ2为相位差随机误差的方差；JB见式（42）。

由CRLB的定义，可得

5 仿真分析

通过计算机仿真验证该算法的有效性。仿真场景设定与第2节中设定的一致。

首先考虑单标校站的情况，将单标校站位置设定为［0 0 0］，采用上述方法，分别对以下两组系统偏差进行其联合估计的CRLB的计算：其中第1组为仅估计在上述场景中造成定位偏差最大的转轴倾角γ、基线转角偏差bθ、基线倾角ε3种系统偏差；第2组为在第1组的基础上另加基线长度系统偏差bd。得到其CRLB如表1所示。

表1 单标校站联合估计CRLB_

从表1中可以看出，当采用单标校站进行联合估计时，如果仅仅估计转轴倾角γ、基线转角偏差bθ、基线倾角ε 3个偏差时，估计的CRLB较小，可以通过一定的方法对这3项系统偏差进行估计，但是如果估计项加入基线长度偏差bd时，则基线长度偏差bd的CRLB较大，无法估计。蒙特卡罗实验次数5 000次，单标校站对转轴倾角γ、基线转角偏差bθ、基线倾角ε3个偏差进行联合估计的结果如表2所示。

表2 单标校站系统偏差联合估计结果

从表2可得如果仅估计转轴倾角、基线转角偏差和基线倾角偏差3个系统偏差，采用一个标校站就足够了，但是如果要求对所有4个偏差进行联合估计，则需要采用多标校站进行联合估计。

为联合估计4个系统偏差，设定两个标校站，位置分别为［－400 0 0］（单位：km）、［400 0 0］（单位：km）。采用上述GN算法，对各个系统偏差进行联合估计，蒙特卡罗实验次数为5 000次，得到的估计结果如表3所示。

表3 双标校站系统偏差联合估计结果

从表3中可以看出，在此标校站场景下，本文采用的算法可以准确估计出各项系统偏差，并且估计的RMSE接近于CRLB。

然而，在实际的工程应用中，增加标校站的个数无疑会增大成本，因此有必要综合衡量标校成本与定位精度改进效果的关系。以目标位置位于［350 350 0］（单位：km）为例，其他参数与之前一样，根据式分别对表1中标校的两组系统偏差进行计算，定位结果的RMSE如表4所示，其中第0组为不估计和标校任何系统偏差。

表4 标校系统偏差对定位精度的提高 km

从表4中可以看出，在此文设定的场景下，只估计并标校转轴倾角γ、基线转角偏差bθ、基线倾角ε3种系统偏差可以将定位的RMSE有效降低，多估计基线长度系统偏差bd，RMSE进一步减少，但是减少幅度不大，因此在对定位精度要求不是特别苛刻时，可以不估计基线长度偏差bd，以减少标校站个数，降低成本。

6 结 论

为了消除机械加工偏差以及安装偏差造成RLBI多种系统偏差。本文首先建立了RLBI系统偏差的模型，然后分析了各系统偏差造成的定位偏差，找出了在本文场景下对定位精度影响显著的4项系统偏差：转轴倾角、基线转角偏差、基线倾角、基线长度偏差。对此提出了一种基于标校站的系统误差联合估计法。仿真表明：单标校站可以有效估计出转轴倾角、基线转角偏差、基线倾角3类系统偏差；双标校站可以有效估计出基线长度偏差、基线转角偏差、基线倾角以及转轴倾角4项系统偏差，并且其估计的RMSE接近于CRLB，验证了该估计方法的有效性。

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吴癸周（199-0- ），男，硕士研究生，主要研究方向为无源定位技术。

E-mail：13297498084＠163.com

张 敏（1984- ），男，讲师，博士，主要研究方向为无源定位、信号处理技术。

E-mail：Zhangmin1984＠126.com

郭福成（1975- ），男，教授，博士，主要研究方向为无源定位、信号处理技术。

E-mail：gfcly＠21cn.com

Joint bias estimation method for rotating long baseline interferometer system

WU Gui-zhou，ZHANG Min，GUO Fu-cheng
（College of Electronic Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）

Considering the effects of the amplitude／phase inconsistencies between different channels，the manufacture bias of the baseline and the installation bias of the baseline on the rotating long baseline interferometer（RLBI）location system，a mathematical model of these biases is proposed.The equivalent of the rotating baseline bias and the horizontal rotation shaft bias are proved.After that，the computing method of the theory localization error and the biases which may cause the distinct localization error is given.Finally，this paper proposes a joint Gauss-Newton bias estimation method based on calibration sources with known positions.The simulation indicates this method can achieve the Cramer-Rao lower bound（CRLB）and a single calibration source can improve the localization performance obviously.

interferometer；bias；estimation；rotating

TN 971

A

10.3969／j.issn.1001-506X.2015.11.05

1001-506X（2015）11-2454-06

2015- 02- 02；

2015- 05- 31；网络优先出版日期：2015- 06- 18。

网络优先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150618.0908.007.html

新技术研究高校合作基金（KX142600027）资助课题