浅水岸壁条件下脉冲荷载引起的粘弹性浮冰层位移响应

鹿飞飞，张志宏，胡明勇，刘巨斌

(海军工程大学 理学院，武汉 430033)

作为自然现象的冰凌普遍存在于寒冷地区。凌汛则为冰凌对水流运动产生的阻碍作用。黄河内蒙古河段每年会有3～5个月的结冰封航期，春季来临时极易造成凌汛灾害［1－3］，甚至导致溃堤。

因此，凌汛灾害发生前及时破冰除险非常必要。由于黄河河道水浅无法用破冰船破冰，目前主要以爆破方式为主，如空投炸弹、炮轰、人工抛投炸药包等。

为分析爆炸冲击荷载的破冰效果及能力，需先进行冲击荷载作用下浮冰层响应研究。Kozin等［4－7］基于积分变换法、有限元及有限差分混合法对冲击荷载作用下冰层位移响应问题进行求解，分析荷载强度、冰层厚度、均匀水深等因素对冰层位移响应影响。胡明勇等［8－10］采用积分变换法求解冲击荷载、三角荷载、简谐荷载引起的冰层响应问题。刘巨斌等［11－12］用边界元及有限差分混合法，数值计算移动气垫荷载的兴波阻力及引起的冰层变形;卢再华等［13］用有限元方法对气垫船的破冰过程进行数值模拟。

本文针对黄河水浅、深度不均匀且存在岸壁等实际情况，建立浅水缓坡岸壁及陡坡岸壁条件下脉冲荷载引起粘弹性浮冰层位移响应的理论模型与计算方法，分析、揭示冰层位移响应影响因素及变化规律。为进一步开展爆炸破冰工程应用提供理论基础。

1 理论模型

设浮冰层厚度h，密度ρ1，冰层均匀且各向同性，本构关系采用Kelvin-Voigt粘弹性模型。水密度ρ2，冲击荷载作用下水为理想不可压缩流体作无旋运动，存在速度势 Φ(x，z，t)。建立坐标系见图1，ox轴与冰 － 水交界面重合、指向右边，oz轴垂直向上，坐标原点o为过脉冲荷载作用点垂线与冰－水交界面交点，o'为过o点垂线与固体壁面交点。设o'至水面高度为H1，o'至冰－水交界面高度为 H=H1－b，其中 b=ρ1h/ρ2为冰层浸入深度。针对两种岸壁情况进行理论建模、求解:即① 缓坡岸壁情况(图1(a))，α为水底与水平面夹角;② 陡坡岸壁情况(图1(b))，β为岸壁与垂直面夹角。

图1 坐标系Fig.1 Coordinate system

脉冲荷载冲击作用下粘弹性浮冰层位移响应动力学方程为

式中:w(x，t)为冰层垂向位移;G=0.5E/(1+ μ)为冰层剪切模量，其中E为冰层弹性模量，μ为泊松比;τφ为冰层松弛时间;Y0为脉冲荷载强度;δ为狄拉克函数;t为时间;g为重力加速度。

流体运动应满足Laplace方程，即

冰层位移响应初始条件为

在冰－水交界面处运动学条件为冰－水垂向速度连续，即

在浅水岸壁表面应满足固壁不可穿透条件，即∂Φ/∂n=0，其中n为固壁单位法向矢量。岸壁倾斜角度α较小时对应缓坡岸壁情况，水底不可穿透条件可近似为

岸壁倾斜角度β较小时对应陡坡岸壁情况，岸壁不可穿透条件近似写为

2 模型求解

运用Fourier、Laplace积分变换方法对以上理论数学模型进行求解。

所用Fourier变换对形式为

所用Laplace变换对形式为

设势函数 Φ(x，z，t)的 Fourier变换式为 ΦF(ξ，z，t)，则对Laplace方程关于变量x进行Fourier变换有

上式通解为式中:

系数C1，C2由边界条件确定。

对边界条件式(4)、式(5a)、式(5b)分别关于变量x进行Fourier变换，得

对缓坡岸壁，联立式(9)、式(10)、式(11)，解得

对陡坡岸壁，联立式(9)、式(10)、式(11)，解得:

对式(1)关于x进行Fourier变换，得

利用 Fourier变换的微分性质和式(12a)、式(12b)，整理得

式中:

已知 wF(ξ，t)的 Laplace 变换式为 F(p，ξ)，对式(14)关于变量t进行Laplace变换，并利用其微分性质得

对式(16)进行Laplace逆变换，得

进一步求解得

对式(18)进行Hankel变换，得冰层垂向位移为

式中:J0(ξx)为零阶第一类贝塞尔函数。

式(19)对缓坡岸壁、陡坡岸壁情况均适用，区别仅在于用式(18)计算wF时，所用式(15)中m(ξ)不同而已。

3 计算结果及分析

3.1 计算结果验证

为验证本文理论模型及计算方法的正确性，采用文献［8］中计算参数，即 ρ1=900kg/m3，E=5 ×109Pa，μ =1/3，τφ=0.69 s，ρ2=1000kg/m3，Y0=107kg/s，h=0.5 m，H=30 m。令 α=0，使本文理论模型蜕化为均匀水深情况。取载荷作用点位置x=0，通过式(19)计算冰层位移响应见图2，可见与文献［8］结果一致。

图2 均匀水深位移响应结果比较Fig.2 Comparison of results for displacement response in uniform depth

3.2 冰层位移响应分析

针对黄河冰层与水深实际情况，按均匀水深、缓坡岸壁、陡坡岸壁三种情况分别计算脉冲荷载作用下冰层位移响应。冰层厚 h=0.2、0.5、0.8 m，深 H=1、3、5 m，缓坡倾斜角 α =0°、10°、15°。对陡坡岸壁，由于 cos(2/β)为振荡函数，且β角越小函数振动越剧烈，因此取 cos(2/β)= －1、－0.5、0、0.5、1 五种典型值进行计算。其余计算参数同前。

3.2.1 均匀水深影响

水深均匀即α=0°时，按不同冰厚、深度情况计算脉冲荷载作用点x=0处冰层位移响应，结果见图3。由图3看出，脉冲荷载冲击作用下，冰层在t=0.52 s时位移响应幅值达最大(该时间与冰厚、深度关系不大)，此后逐渐衰减，并在t=10 s后趋于停止。因此冰厚、深度变化均会对冰层位移响应产生影响。冰厚h=0.5 m时深度变化引起的位移响应见图3中曲线1、2、3，分别对应H=1、3、5 m，可见深度增加时冰层位移响应幅值随之增加，但增加趋势变缓。由式(12)看出，深度H增大到一定程度时m(ξ)与深度基本无关，因此据式(19)计算的冰层位移响应亦与深度基本无关。深度H=3 m时冰厚变化引起的位移响应见图3中曲线5、2、4，分别对应冰厚 h=0.8、0.5、0.2 m，可见冰层依次变薄时其位移响应幅值呈现非线性大幅增长，说明对脉冲荷载作用下冰层位移响应而言，冰层厚度较深度影响更大。另外，由图3中曲线4看出，理论计算的冰层位移响应幅值已超过实际水深，实际情况不可能出现，此时冰层或已断裂或已触及水底导致冰层变形截止。

图3 水深、冰层厚度对位移响应影响Fig.3 Influence of depth and thickness of ice sheet on displacement response

3.2.2 缓坡岸壁影响

深度H=3 m、冰厚h=0.5 m时，在脉冲荷载冲击作用下，考虑缓坡岸壁对冰层位移响应影响，计算结果见图4 中曲线 1、2、3，分别对应 α =0°、10°、15°，可见冰层在t=0.52～0.68 s范围内位移响应幅值达最大，与均匀水深相比，缓坡岸壁条件下达位移响应峰值所需时间有所增加。倾斜角度α增加时冰层位移响应幅值随之增加，振动频率加快，振动持时延长。与均匀水深相比，缓坡岸壁的存在可导致冰－水系统振动能量累积，利于提高破冰效果。

图4 缓坡岸壁对冰层位移响应影响Fig.4 Influence of gentle bank on displacement response

3.2.3 陡坡岸壁影响

深度H=3 m、冰厚h=0.5 m时在脉冲荷载冲击作用下，考虑陡坡岸壁对冰层位移响应影响，计算结果见图5 中曲线 1、2、3、4、5，分别对应 cos(2/β)= － 1、－0.5、0、0.5、1。陡坡岸壁倾斜角度 β 较小且 β≠0时，冰层在时间t=0.60～0.75 s范围内位移响应幅值达最大，陡坡岸壁条件下冰层达位移响应峰值所需时间较缓坡岸壁有所增加。冰层位移响应幅值随cos(2/β)值增加而增大，且陡坡岸壁存在时的位移响应幅值、振动频率及持时远大于缓坡岸壁情况。与缓坡岸壁情况相比，陡坡岸壁的存在更有利于冰－水系统振动能量累积，对破冰效果提高更有利。

图5 陡坡岸壁对冰层位移响应影响Fig.5 Influence of steep bank on displacement response

4 结论

建立脉冲荷载激励浅水粘弹性浮冰层位移响应理论模型，在将浅水岸壁简化为缓坡、陡坡岸壁两种情况下通过Fourier、Laplace及Hankel变换相结合方法对该理论模型进行积分求解、数值计算。并以黄河冰层与实际水深为例，计算不同冰厚、深度、缓坡及陡坡角度等因素对浮冰层位移响应影响，结论如下:

(1)水深增加、冰层厚度减小，均可使冰层位移响应幅值增加;缓坡、陡坡岸壁的存在可引起冰－水系统振动能量累积，利于增加激励冰层位移响应幅值、提高振动频率及延长振动持续时间。

(2)缓坡岸壁优于均匀水深，陡坡岸壁优于缓坡岸壁。陡坡、缓坡岸壁的存在使脉冲荷载能激励更大冰层的变形响应。对任意斜度浅水岸壁情况，由于边界条件的复杂性，理论求解更困难。

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