梧桐树叶模型在风中的振动和受力分析

郑如侃，邵传平

（中国计量学院 计量测试工程学院，浙江 杭州 310018）

树木是地球非常重要的组成部分.但是，每年都有大量的树木被破坏，而其中对树木造成破坏的最主要因素是风灾［1］.树木在强风中会弯曲树干并且剧烈摇晃，直到被吹断甚至连根拔起.阔叶树的振动包括树干、树枝以及树叶的振动，其中树叶的振动最为复杂.有两个重要的因素影响树的振动：树的风载荷和固有频率.树的风荷载强度不仅取决于风的速度，也取决于树的正面迎风面积.Vogel［2］在树叶方面的研究具有重要指导意义，他对单片的树叶在风载荷作用下的情况进行了观测，发现某些阔叶树叶在风中具有形状重构的能力.随着风速的增大，树叶自动蜷缩成近似流线体的形状，以减小所受的阻力并避免出现强烈振动.

早期的实验主要关注的是树枝或树叶的风载荷测试方面，因为大多数现有的风洞实验段没有足够大的尺寸来满足放下一整棵树.在风载荷条件下，有关单片树叶的研究有着独特的意义.不同于树木上的树叶，在没有其它树叶及树枝的干扰下，可以更加清楚地观察单片树叶的振动变形过程.Grant［3］测量了云杉树枝在风速为4.5m／s时的阻力系数.Vogel［4］测量了10种不同种类的单片树叶或一根树枝上的树叶串的阻力，发现阻力近似与速度的4／3次幂成线性关系.

在数值模拟方面，对树叶的研究也在进行.由于树叶在风中的变形和振动都很剧烈，而且树叶的基本特性彼此间差异较大，难以进行准确计算，所以在模型的建立过程中难以避免地对树木的细节部分进行了较大的简化.Tobias等［5］对云杉建立数学模型并对其运动进行了模拟，但同时结论中指出模型本身存在着不足.Jason等［6］使用电脑绘图技术对树木建立模型，但是，过程中只是注重几何图形而忽略必要的植物学原理.Selllier［1］采用目前在数值计算方面较为成熟的有限元方法对树木在风载荷作用下的运动进行了预测.但是，结果和实际的树木的振动状况有一定的差距，这主要是由于在风载荷下，树木的影响因素非常复杂，难以面面俱到.

目前，对人工材料制作模型，在自然生物方面的研究也有出现.Erick等［7］对不同形态的海边红树林树叶进行了研究，得出在风载荷下树叶的形态拓扑结构相比树叶的属性而言对振动的影响更大.这一点对于实验研究提供了一些启发.Alben等［8］研究流体流动和人造薄柔性材料之间的相互作用，也观察到重构现象.但目前人造模型在树叶方面的应用还较少.

邵传平等［9］经过实验和研究发现，基于风速和叶片长度的雷诺数是树叶振动问题的一个关键的参数.在树叶正面迎风情形下随着雷诺数的增加，叶片经历静态变形、大振幅低频摆动、重构成三角翼的形状、整个叶片高频率振动、三角翼的形状恢复和树枝叶耦合振动.在临界雷诺数时树叶从一个状态突然变化到另一个状态.在树叶背面迎风情形中，大振幅低频摆动不发生，恢复的三角翼的形状被圆锥形取代，振动的临界雷诺数均高于对应的正面迎风情况.叶在正面迎风情形比在背面迎风情形具有更好的气动特性.

陈明等［10］对于单片的杨树叶做了较为深入的研究，通过流场测试手段，研究了真实和人造杨树叶在风载荷下振动变形的整个过程.发现杨树叶模型受风时经历了与真实杨树叶相似的振动变形过程.

1 实验材料和方法

由于真实树叶在树叶大小、叶片厚度和叶柄长度等各方面的尺寸都是不可控制的，难以定量研究影响树叶振动的因素，所以这里采用制作人工树叶的方法来进行实验.经过对多种材料的对比分析，最后选定了与真实树叶振动过程最为接近的透明PVC胶片作为制作人工树叶的材料.PVC胶片制作的人工树叶与真实树叶有几乎相同的振动变形特性，但由于弹性模量略有差别，所以发生相同振动过程时的雷诺数略有差异.通过实验找到振动变形情况比较典型的真实树叶，用剪刀将PVC胶片剪成和真实树叶相同的大小和形状.为了研究叶片厚度对树叶振动的影响，选用了0.07mm、0.125mm 和0.15mm 三种不同厚度的PVC胶片制作了三种不同厚度的人工树叶，并用砂纸将叶片表面磨花，这是为了减弱PVC材质的反光.叶柄的制作也是选用相同的PVC胶片，根据真实树叶的尺寸，将胶片纸剪成多根宽度为3mm的小条.每条的背面都粘上双面胶带用于固定，为了研究叶柄尺寸的影响，在实验时小条的层数从3层一直增加到9层.最后用彩笔将透明的人工树叶上色，便于在实验和后期分析中的观察分析.

叶片的尺寸如图1.其中L1和L2为2个叶片长度，D1、D2、D3和D4为4个叶片宽度，l和d分别为叶柄的长度与宽度.实验主要摄像和测力实验分为两部分.摄像是为了记录大批量不同尺寸的人工树叶的振动情况，最后进行统计来寻找规律.实验是在中国计量学院的风洞实验室中进行的，其主体是一个循环式的风洞，风洞的实验段尺寸为0.6m×0.6m×2m.风速的范围为0.5m／s至50m／s，湍流度小于0.5%.将人造树叶按照需要的叶柄长度用胶带固定在一根真实的树枝上，并将其从风洞实验段上方的开口处伸入实验段.树叶的位置选择在风洞的中间，因为这个位置的来流更加稳定.上方树枝用U形夹固定住，并在U形夹上放置重物加强固定.实验开始前，叶片应该与风洞实验段横截面平行，并竖直向下.拍摄所采用的是一台拍摄频率为50Hz的JVC GP－100摄像机.摄像机固定在三脚架上，三脚架摆放在风洞实验段观察面一侧，与来流方向大约成120°的夹角.实验开始时，风速从0开始慢慢往上增加，直到出现所有的振动状态，这里最大风速为25m／s.测力实验过程与之前类似，不同的是要在风洞实验段上壁内侧固定一个风洞天平，而人工树叶是固定在测力仪上.该仪器可以将空气动力和力矩沿3个相互垂直的坐标轴系分解并进行精确测量.

图1 梧桐树叶模型尺寸标注Figure 1 Size of the platanus acerifolia leaf model

2 实验结果分析

2.1 梧桐树叶模型振动分析

本次实验一共拍摄了180组树叶尺寸各不相同的梧桐树叶模型的振动视频.其中叶柄长度范围是3cm到17cm，叶柄平均宽度从1.9mm至3.5mm不等.经过对录像的观察与统计，发现梧桐树叶模型会随着风速的增长出现从静止到左右大幅度低频摆动、叶片停止摆动重新稳定以及再一次从静止到上下小幅度高频振动三个过程.这些不同状态的改变都是在某个风速下突然发生的，这个发生状态变化的风速称之为临界风速.依据出现不同振动类型出现的先后顺序，我们把发生低频大幅摆动、稳定和高频小幅振动的临界风速称为v1、v2和v3.在叶柄长度l和叶柄平均宽度d不同时，相应的临界风速也会随之改变.为了便于研究树叶振动与叶柄尺寸之间的关系，这里将数据进行无量纲化处理.取特征长度l／d和临界雷诺数Ren＝vnL／ν（n＝1，2，3），其中ν为室温下空气的运动粘性系数，L为叶片长度.

图2为临界雷诺数Ren与叶柄特征长度l／d的函数关系图.通过图表可以发现，出现低频大幅摆动的临界雷诺数Re1都在小于150000的范围内，且Re1会随着l／d的增加而减小.这主要是因为l／d的值越大树叶稳定性越差，越容易失去平衡.重新静止稳定状态的临界雷诺数Re2集中在150000至250000的区间段，在l／d从小到大变化过程中，Re2值的分布基本均匀，并没有明显的增大或者减小.这说明叶片的重构与叶片本身的参数有关，而与叶柄的关系不大.在发生高频小幅振动的时候，Re3会随着l／d的增加而增大，并且集中在150000到350000的范围内.

2.2 梧桐树叶模型受力分析

本次测力实验一共测量了9组尺寸各不相同的梧桐树叶模型的受力情况.六分量风洞天平测量出来的为电压数据，根据换算公式将其转换为力数据.其中x方向为流向方向，即阻力，顺风的方向为正.与风洞横截面水平方向平行的为y方向，右为正左为负.竖直的为z方向，即升力，向上为正.图3为尺寸不同的梧桐树叶模型的三个方向受力与雷诺数之间的关系.从图中可看出，各片树叶的力的变化还是比较相似的.从x方向的阻力来看，每片树叶都出现一个随雷诺数增大而增大的情况，且在相同雷诺数下阻力也大致相同.不过当树叶从振动状态变为静止状态时，阻力会出现一个几乎不增加甚至减小的情况.从y方向来看，在左右低频摆动时力会随着雷诺数增大而增大，在静止和高频振动阶段力会随着雷诺数变大缓慢减小，最后趋向于零.从z方向的升力来看，在开始升力会随着雷诺数增加而变大.当树叶变为静止时，升力会突然减小，然后基本保持在一个稳定值.在最后的高频振动阶段，升力会随着雷诺数增大而慢慢减小.

图2 临界雷诺数Ren与叶柄特征长度l／d的函数关系图Figure 2 Function relationship between Reynolds number and the characteristic length of petiole

图3 各方向受力与雷诺数的函数关系图Figure 3 Function relationships between force in 3directions and Reynolds number

图4为梧桐树叶模型的阻力系数与雷诺数关系图.阻力系数

式（1）中：Fx—阻力大小，ρ—空气密度，v—风速，S—叶片面积.

从图中可看到，随着雷诺数的增加，树叶的阻力系数大体都呈现一个减小的趋势，最后趋于一个稳定的值，但不同尺寸的树叶的变化趋势各有差异.前面三个图表表示的是在只改变叶柄长度的情况下，叶片厚度为0.15mm的树叶在叶柄长度不同时的阻力系数变化曲线.从图中可以看到，在雷诺数相对较低时，叶柄长度越长，阻力系数越小.当叶柄长度l＝3cm时，叶片大小不同的树叶最大阻力系数均在为0.8附近；而当l＝9cm时，最大阻力系数依次为0.65、0.6和0.45，叶片越大阻力系数越小.随着雷诺数的增加，不同叶柄长度的树叶的阻力系数都趋于相等，并且最后都稳定在一个固定的值.第四和第五个图表表示的是只改变叶片大小的情况下，叶片厚度为0.15mm的树叶的阻力系数变化曲线.不论叶柄长度l是3cm还是9cm，叶片大小相同的梧桐树叶模型的阻力系数最后都趋于同一个值.0.8倍大小的树叶阻力系数最后稳定在0.1左右，1倍大小的树叶阻力系数稳定在0.2左右，而1.2倍大小的树叶稳定在0.3左右.最后一个图表表示在只改变叶片的厚度，叶片大小和叶柄长度都相同的情况下阻力系数与雷诺数关系图，这里的叶片厚度取0.07mm、0.125mm和0.15mm三个值.从图中可以发现，三片树叶的阻力系数变化基本相同，从数值和变化趋势上看都没有明显的区别.

图4 阻力系数CD与雷诺数的函数关系图Figure 4 Function relationships between resistance coefficient and Reynolds number

图5所示为3号梧桐树叶模型在不同风速下的力的概率密度分布图.该树叶叶片厚度为0.15mm，柄长9cm，叶片大小为1倍.当风速为0.7m／s时，树叶静止，三个方向的力峰值大小几乎相同.当风速达到3.5m／s时，树叶出现低频大幅摆动，z方向的力分布变宽，峰值减小.在风速等于4.9m／s时，树叶静止，三个力的分布图都出现了非常尖的峰，此时三个方向上的受力都较为稳定.在风速为7.6m／s时，树叶开始高频小幅振动，x方向的力分布变宽，峰值减小.树叶的第二次静止出现在13.2m／s，这个时候的分布又出现了三个尖峰.直到风速达到18.6m／s，树叶失去平衡开始高频振动，x方向的力又变得分布变宽，峰值减小.

3 结 语

通过制作梧桐树叶模型，并通过控制变量的方法来研究影响树叶振动的因素.梧桐树叶模型会随着风速的增长出现从静止到左右大幅度低频摆动、叶片停止摆动重新稳定以及再一次从静止到上下小幅度高频振动三个过程.经过分析发现叶柄长度l和叶柄宽度d的比值l／d是影响树叶振动的一个重要参数.出现低频大幅摆动的临界雷诺数会随着l／d的增加而减小；重新静止稳定状态的临界雷诺数随着l／d的增加基本保持不变；发生高频小幅振动的临界雷诺数会随着l／d的增加而增大.

图5 不同风速下受力的概率密度分布图Figure 5 Probability density distribution of force in different wind velocity

不同尺寸的梧桐树叶模型在相同条件下受到风的阻力差别不大，但阻力系数不同.若只改变叶柄长度，在雷诺数相对较低时，叶柄长度越长则阻力系数越小.随着雷诺数变大，不同叶柄长度的树叶阻力系数都趋于相等并稳定在固定值.若只改变叶片大小，在雷诺数相对较低时，不同叶片大小的树叶阻力系数的值与变化趋势都较为相似.随着雷诺数变大，阻力系数都趋于稳定，但是阻力系数的值不一样.树叶尺寸越大，阻力系数最后的稳定值越小.

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