数形结合在数学中的重要应用

高艳军

摘要：数学学习不单纯是数的计算与形的研究，其中贯穿始终的是数学思想和数学方法.在数学里所接触到的一些思想方法中，数形结合的思想方法无疑是比较重要的一种，著名思想家华罗庚指出：“数”与“形”是数学中最本质、最古老的两样东西，它们既分别发展着，同时又互相渗透、互相启发，共同推动着数学科学的向前发展.

关键词：数形结合；几何图形；数轴；方程；乘法法则

【分类号】G633.6

所谓数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.数形结合主要有两方面：其一，从形到数，揭示形中数的本质，数学的发展使许多几何问题不再是单纯的图形研究，人们在透过形的外表触及其内在的数量特征，探索由形到数的联系与规律；其二，由数到形，利用形的直观，加深对概念的理解记忆，开拓解题思路.形与数互相比较有着直观上的优势.对于学生相对于抽象思维，普遍更喜欢形象思维，对图形的记忆也总强于对文字、数式的记忆，所以老师在讲述有关数学知识时，都尽可能用数形结合、形数对照的方法，使学生对所学知识有更深刻的了解.

在小学学习中，用的最多的是前者，而且在应用题的分析求解中，通常是将数量关系转化成线段图.然而，这并不是唯一的方式.实际上，在不同的问题中，可将数量关系转化为不同的图形.其中有一个原则：能把数量关系最清晰、最直接地显示出来的图形，是我们最佳的选择.例如下面这个例题

一色糖果平均分给三个小朋友，如果每人吃掉4块，那么三人剩下的糖块数之和恰好是原糖果数的1/3，问原糖果有多少块？

分析与解答 当然上面的问题用方程来解决或许比较简单，但是对于一个小学生来说方程也许对他们太抽象了，难于理解，所以这里我们用图形来解决这个问题，我们希望选择的图形能够一目了然地看出“三人剩下的糖果之和恰好是糖块数的1/3”，就是说，能把“三个剩下的糖块数之和”在图形中连成一片，并且能够直接看出它与原糖果数之间的关系，为此，我们画一个大圆，并且大圆的面积表示原糖块数，把大圆三等分，每份即表示每位小朋友分得的糖块数，

在大圆中再画一个小同心圆（小圆的半径约等于大

圆半径的0.6），用小同心圆的面积表示三人剩下的

糖块的之和，于是圆环（阴影部分）的面积即表示三

人吃掉的糖块数之和，如图所示：这样一来数量关系就

完全明了清晰了.

由此可见，在我们刚一接触数学时，数形结合思想已扎根于我们的脑海中，给我们每个人留下了深刻的印象，下面我們就数形结合思想在数学中的几点重要应用做一下归纳.

一 、从数轴上来看数形结合的重要性

步入小学六年级，我们要接触一种新形式的数——“负数”，为了使学生易于理解什么是负数以及负数与我们以前所学的数的区别.就引进了数轴，即它是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线，有了数轴，负数、相反数以及数的绝对值都可以通过数轴来描述出来，看下面的例子

例1 若 且 试用

分析 由已知条件直接从“数”的关系比较很抽象，比较大小有一定困难；若由已知条件借助于“形”（数轴）来解决，则较为方便.

解 由条件不难知道 ，并结合相反数的意义，依题意将 在数轴上的大致位置表示

如图所示： .

例2[1] 观察数轴

（1）求适合 的整数？它们的和是多少？

（2）求适合 的所有整数x.

解 （1）根据绝对值的意义整数x满足 表示到原点的距离小于5的所有整数点，在数轴上作图

易知满足 的所有整数为±4，±3，±2，±1，0这九个数，它们的和是0

解 （2）根据绝对值的意义 表示数轴上对应x的点到对应1的点的距离，那么求 的整数x即求数轴上到表示1的点的距离大于1小于4的所有整数点，作出数轴图.

∴所有整数x为-1，-2，3

以上几个例题主要建立在对相反数、绝对值意义的理解，利用数轴，使用数形结合从而使问题变得直观，进而易于解决.其数形结合思想是隐含在习题的解决过程中的，平时对问题及过程多琢磨，多挖掘，认真提炼，对于学好用好数学思想将是十分有价值和十分有意义的.

二、多项式乘法法则的图示使学生对法则易懂易记

对于单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的法则在介绍了代数推导法则后，都给出了几何图示，这种数形结合的表示方法，使学生易于接受，容易理解，便于记忆.下面以多项式的乘法为例加以说明.

例3[2] 求 ，第一次见到两个多项式相乘往往无从下手，可是通过以下我们建立几何图形，就可以使同学们轻松的得到问题的答案，如图所示

分析与解答：用S表示右图中改造后绿化带

的面积，则 ，这是利用

了长方形的面积公式. 如果分别求出每

个小绿化带的面积同样也可以得到改造

后绿化带的面积即：

.由此我们得到结论：

，由此可见数形结合能帮助学生在和谐、轻松的氛围中，不知不觉地完成对新知识的认识过程.

综上所述，我们很容易的就会得到用数形结合法去解决一些问题比较直观、形象，而且内容易于理解和记忆.所以我们说数形结合是一种极富数学特点的信息转换，关于数形结合，华罗庚教授评价说：

数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；

数无形时少直觉，形少数时难入微；

数形结合百般好，隔离分家万事休；

切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离.

由此可见，数与形之间有着多么重要的联系，数形结合作为一种重要的思想方法把几何、代数融为一体，所以，在今后的学习中，我们要牢牢地掌握住这种方法，用“数”的准确性澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生学习兴趣，提高思维能力.

参考文献

[1] 中国数学会.数学通报.北京师范大学出版社[J].2004，（8）：19-20.

[2] 中国数学会.数学通报.北京师范大学出版社[J].2006，（8）：28-29.