关于考研高等数学三的极限求解方法的探讨

任全玉

[摘 要]考研高等数学分为高等数学一、高等数学二和高等数学三，它们的考试难度是依次递减的。高等数学三一般是经管类考研必考科目。极限问题又是每次考研必考的知识点。也是学生复习考研时的一个重点和难点。本文以近几年高等数学三考研真题为例讲解了在考研高等数学三中求极限问题常用的方法，并对经管类考研学生复习极限提出建议。

[关键词]极限;洛必达法则;等价无穷小;高等数学三

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2015.11.170

1 引 言

考研高等数学分为高等数学一、高等数学二和高等数学三。它们的难易程度是依次递减的，高等数学三是它们三个中最简单的，一般是经管类考研必考科目。由于极限又是每年考研中必考的知识点，一般情况下是以一道大题的形式来考，在填空选择中也常有出现。所以学生在准备复习的过程中对极限非常重视。查阅各种资料来学习极限的各种求解方法。在这个方面花费了大量的时间。据不完全统计，极限的求解方法有20多种。其实对历年考研高等数学三中的极限试题进行分析研究，会发现它所考查的方法也就是那么两三种方法。如果掌握了这个规律可以帮助我们减轻复习的压力。让你觉得高等数学不是考试的难点。

2 教材中提到的求极限的方法

在吴传生编写的《经济数学——微积分》中我们一般会学到以下求极限的方法：定义法;极限存在准则及两个重要极限;等价无穷小;洛必达法则。在书中还有提到其他方法，例如：利用无穷小求极限，利用定积分求极限，利用泰勒公式求极限，利用级数求极限等。通过对历年高等数学三考研试题的分析研究发现它所考查的重点就是洛必达法则和等价无穷小。这两种方法也是我们在求极限时最常用的方法，也是最有效的方法。

3 近几年高等数学三考研真题求法分析

例1（2009年考研高等数学三真题）求极限limx→0e-ecos x31+x2-1.

分析：通过简单的分析我们可以看到当x→0的时候，这个极限的分子分母都是趋向于零的，也就是说它是一个00型的极限，这正好是我们洛必达法则所善于求解的形式，但是我们在用洛必达法则时应该注意的问题是要和等价无穷小联合起来应用。我们看到在分母里有一个等价无穷小当x→0时，31+x2-1～13x2，有了这个等价无穷小之后再用洛必达法则就简单多了。解题过程如下：

解：limx→0e-ecos x31+x2-1=limx→0e-ecos x13x2=limx→0ecos xsin x23x=32

我们可以看到在这个极限的题中我们也只利用了等价无穷小和洛必达法则。要记住同一个题中往往是这两种方法结合起来应用。

例2（2012年考研高等数学三真题）计算limx→0ex2-e2-2cos xx4

分析：在这个题中当x→0时，它的分子分母都趋于0，也就是说它是一个00型的极限。是我们洛必达法则适用的对象。又通过观察我们发现在这里没有明显的等价无穷小的形式。我们可以直接应用洛必达法则进行求解。接连应用四次洛必达法则就可以求出结果。这种方法在这里就不展现给大家了。下面我们利用等价无穷小来处理这个题。在我们的几个等价无穷小中，其中一个是x→0时，ex-1～x，想到这一点，我们可以在分子中产生这样一个形式。具体解法如下：

解： limx→0ex2-e2-2cos xx4=limx→0e2-2cos x（ex2-2+2cos x-1）x4

=limx→0ex2-2+2cos x-1x4

=limx→0x2-2+2cos xx4

这时它转化成一个00型的，再用洛必达法则。

limx→0x2-2+2cos xx4=limx→02x-2sin x4x3

=limx→0x-sin x2x3=limx→01-cos x6x2=112

通过这个例子我们又一次看到了，在这个极限的题中，我们也只应用到了洛必达法则和等价无穷小这两种方法来求极限。

例3（2014年考研高等数学三真题）求极限limx→0∫x1（t2（e1t-1）-t）dtx2ln（1+1x）.

分析：首先我们可以看到当x→∞的时候这是个∞∞型的极限，所以我们大家很快会想到洛必达法则求极限的方法。但是我们谈到在用洛必达求极限的时候要先看有没有等价无穷小可以代换，我们看到当x→+∞时，ln（1+1x）～1x，然后再用洛必达法则。下面按着这个一般的思路去解决这个题。

解：

limx→+∞∫x1（t2（e1t-1）-t）dtx2ln（1+1x）=limx→+∞∫x1（t2（e1t-1）-t）dtx2.1x

=limx→+∞∫x1（t2（e1t-1）-t）dtx

=limx→+∞[x2（e1x-1）-x]

在此我们又可以看到它是一个∞-∞型的，在洛必达法则中提到这种型的要通分。

limx→+∞[x2（e1x-1）-x]=limt→0[1t2（et-1）-1t]

=limt→0et-1-tt2

这时它又是一个00型的，再用洛必达法则：

limt→0et-1-tt2=limt→0et-12t=12

在此我们又可以看到它是一个∞-∞型的，在洛必达法则中提到这种型的要通分。

limx→+∞[x2（e1x-1）-x]=limt→0[1t2（et-1）-1t]

=limt→0et-1-tt2

这时它又是一個00型的，再用洛必达法则：

limt→0et-1-tt2=limt→0et-12t=12

通过上面这三个实例我们不难发现，考研高等数学三极限题中，它所考查方法就是洛必达法则和等价无穷小这样两种方法，所以大家在复习时应把复习重点放在这两种方法上。这样可以节省很多时间。

下面我们在根据多年对考研高等数学三的分析总结，以及数学这门课程的特点。就高等数学三考研复习给出一点建议。

4 考研高等数学三复习的建议

4.1 以教材为复习重点

在考研复习的时候，很多学生对复习资料的选择上犹豫不定。通过分析历年的高等数学三考研试题我们不难发现，这些题的类型我们在教材的习题中都有。甚至它的难度要比我们书中的题简单。有时我们对考研题进行求解时，甚至发现这个题中有我们书上题的影子。再者，经管类的考研的内容里都包含了一些经济专业的一些问题，这在除了教材外其他资料里很少出现的，所以我们在复习的时候应该把教材作为我们复习的重点。

4.2 脱离参考答案

大部分学生在学习数学时，总是离不开课后参考答案。当一个题不会做时，他们往往不给自己过多的考虑时间就去翻看参考答案。通过多年的教学发现，这是学生不会做数学题最关键的问题之一。经常翻看答案书往往导致学生不会自己思考问题。当遇到不会做的题时要多留给自己一些时间去思考，慢慢地就会自己独立思考了。如果确实不会了，那么也尽量不去看答案，可以向老师或者同学请教。

4.3 多做总结

很多学生在复习高等数学时，采取的方法是多做题，采用所谓的“题海战术”，这样做会非常辛苦，效果不明显。当做错一个题后，一看标准答案觉得看懂了就可以了。这往往“事倍功半”。我们要善于总结。当一个题做错或者不会做时，要总结一下自己是哪个知识点没搞懂，从而做到“事半功倍”。

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]吴传生.经济数学——微积分[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]李永乐.数学考研复习全书[M].北京：国家行政学院出版社，2013.