经历操作过程 建立空间观念

徐玉梅

【摘要】 教学中，学生总会出现各式各样的问题，反思教学，我们是否真的有从学生的角度出发？是否考虑了学生的认知特点？文中针对一个数学问题，教学通过激活学生的已有知识经验，使学生经历观察、操作、想象、推理等一系列的数学思维活动，展开几何学习活动，帮助学生发展空间思维，建立空间观念.

【关键词】 经历过程；观察；操作；想象；空间观念

苏教版小学数学六年级上册“长方体和正方体的体积”中有这样一道题目：“一个正方体容器棱长是6分米，将其盛满水后倒入一个长是8分米，宽和高都是6分米的长方体容器，水面能倒多高？”

经过调查，学生习惯出现的做法有以下几种：

1. 先算出正方体容器的容积和长方体容器的容积，然后算出正方体容积相当于长方体容积的多少倍，最后再用长方体容器的高乘这个倍数，算式是：6 × 6 × 6 = 216（立方分米），8 × 6 × 6 = 288（立方分米），216 ÷ 288 = 0.75，6 × 0.75 = 4.5（分米）.

2. 或者先算出长方体容器比正方体多出来的容积相当于长方体容积的多少倍，然后求出多出来部分的高度，最后算出水面的高度，算式是：6 × 6 × 6 = 216（立方分米），8 × 6 × 6 = 288（立方分米），288 - 216 = 72（立方分米），72 ÷ 288 = 0.25， 6 × 0.25 = 1.5（分米），6 - 1.5 = 4.5（分米）.

3. 更有多数学生还会出现这样错误的方法：6 × 6 × 6 = 216（立方分米），8 × 6 × 6 = 288（立方分米），216 ÷ 288 = 0.75（分米）.

【反思】这是学生第一次学习空间立体图形，从研究平面图形到立体图形，是学生空间观念发展的一次飞跃. 经过分析，出现以上问题最主要的原因在于学生缺乏空间观念. 经过一段时间的思考，我设计了一个简短的数学操作活动并进行了教学实践，效果明显.

一、认真观察，获得空间知觉

感知一：感受倒入另一个容器后水面的高度与另一个容器的高无关.

准备正方体容器一个，长方体容器甲和乙（底面完全相同，一矮一高）各一个.

活动1：将正方体容器盛满水，先倒入甲长方体容器，记录水面高度画上记号.

活动2：同样将正方体容器盛满水，再倒入与甲容器一样粗细的长方体容器乙，记录水面高度并画上记号.

思考：比较两次活动，水面高度是否发生变化？你有什么发现？

引导发现：正方体容器盛满水后，倒入甲和乙两个底面一样、高度不同的长方体容器，水面高度不变；水面高度与容器的高度没有关系.

二、经历操作，构建空间形式

感知二：感受倒入另一个容器后水面的高度与另一个容器底面的大小有关.

准备同样的正方体容器一个，长方体容器各一个甲和乙（高度一样，底面不同），另准备一个与甲（或乙）容器底面一样，但高不一样的长方体丙以及与甲（或乙）容器长和宽不同，但底面积相等，高也不变的长方体容器丁一个.

活动1：将正方体容器盛满水分别倒入甲、乙和丙三种同的长方体容器，记录水面高度并画下记号.

思考：你觉得正方体容器盛满水后倒入其他容器，水面高度与别的容器的什么有关？有何关系？与什么无关？

引导发现：水倒入后，与别的容器的底面的大小有关；底面越大，水面高度越低；底面越小，水面高度越低. 另外，水面高度与别的容器的高度无关.

活动2：将正方体容器盛满水，倒入长方体容器丁，记录水面高度并画下记号.

思考：与倒入和丁容器底面积相等、高也相等但长和宽不同的甲（或乙）容器相比，水面高度有没有变化？你又有什么发现？

引导发现：倒入容器的长和宽不相等，但底面积相等的情况下，水面高度不变.

三、借助想象，建立空间观念

感知三：认识“等积变形”，发展空间思维.

师：正方体容器盛满水，水是什么形体的？现在倒入一个长方体容器呢？倒水的过程中，什么不变，什么变了？（教师结合演示）

生1：正方体容器盛满水，水是正方体形状的；而倒入长方体容器中，形成的是长方体.

生2：倒的过程中，水的体积不变，形状变了.

师：数学中，我们把这种转化叫作“等积变形”，能理解吗？

生：就是体积不变，形体发生改变.

师：猜想一下，正方体容器盛满水倒入长方体，能倒满吗？为什么？你能发现什么？

生：不能，因为长方体容器的底面积变大了，所以倒不满. 生：水面的高度与长方体容器的高度没有关系.

师：现在水倒进了长方体容器，形成的是一个长方体，这个长方体与长方体容器有何关系？

生：水形成的长方体与容器的长和宽一样，也就是底面积一样.

师：那么水面的高该如何计算呢？

生1：用“体积 ÷ 长 ÷ 宽 = 高”，6 × 6 × 6 = 216（立方分米），216 ÷ 8 ÷ 6 = 4.5（分米）.

生2：用“长 × 宽”先算出底面积，再用“体积 ÷ 底面积 = 高”，算式是：8 × 6 = 48（平方分米），6 × 6 × 6 = 216（立方分米），216 ÷ 48 = 4.5（分米）.

师：解决问题的前后，有一个量我们始终没有用到，是哪个量？

生：长方体容器的高.

师：通过今天的活动操作，对这个问题真正地理解了吗？你有什么收获？

生：水面的高度与倒入容器的高没有关系，那个高只是一个多余条件.

……

【思考】通过激活学生的已有知识经验，使学生经历观察、操作、想象、推理等一系列数学思维活动，展开几何学习活动，帮助学生获得空间知觉、构建空间形式，从而建立空间观念，使学生在直观形象的基础上去体会、思考、总结和归纳. “听过了，忘记了，看过了，明白了，只有做过了，才能深刻理解.”时刻反思自己的教学，是否考虑了学生的认知规律和特点？教师需要智慧地觉悟，教学需要智慧地加工.