不确定非线性时滞系统的同时 保代价控制

张佳玲 包俊东

【摘要】本文所考虑的问题是设计一个静态输出反馈控制器，来同时二次镇定一族不确定非线性时滞系统，使得闭环系统满足一定的H∞性能要求且具有保代价。文章给出了公共反馈增益矩阵存在的一个充分条件，并且通过解一组线性矩阵不等式求得了这一反馈增益矩阵，同时可解出系统族的一个公共Lyapunov-Krasovskii泛函，进而求得系统族的保代价。文中实例验证了本文方法的有效性。

【关键词】不确定非线性时滞系统 同时H∞控制 保代价控制 线性矩阵不等式

【基金项目】 内蒙古师范大学十百千人才项目；内蒙古师范大学2014年度研究生科研创新基金项目（CXJJS14054）。

【中图分类号】TP13 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）19-0254-02

1 引言

控制系统的同时镇定问题于1982年由Saeks和Murray以及Vidyasagar和Viswanadham首先提出。其后，很多学者这一问题进行了研究并在此基础上考虑系统的H∞性能表现，得到了很多有价值的结论。为了降低结论的保守性，Chang等人于1972年在自适应控制中提出了保代价控制的概念。这一方法是在解决以上鲁棒缺陷方面起到了非常重要的作用，因此得到了很大的发展。

本文所考虑的是不确定非线性时滞系统的同时H∞保代价控制问题。通过设计一个静态输出反馈控制器来使得闭环系统族同时二次稳定，且具有H∞性能以及保代价。文章通过解一组线性矩阵不等式求得了这一公共反馈增益矩阵，同时可解出系统族的一个公共Lyapunov-Krasovskii泛函，进而求得系统族的一个保代价，实现了系统族的同时H∞保代价控制。

2 问题描述

考虑以下系统族：

i=1，2，…，s

其中想x（t）∈Rn是系统状态变量；u（t）∈RP是系统控制输入；ω（t）∈Rq是系统干扰输入；z（t）∈Rm和y（t） ∈R1分别表示系统控制输出和系统量测输出；τ>0 是系统状态时滞；Ai∈Rn×n，Ai∈Rn×n ，Bi1∈Rn×p， Bi2∈Rn×q，Ci1∈Rm×n，Ci∈R1×n ，D1∈Rm×q是系统矩阵，△Ai，△∧i，△Bi1为不确定矩阵，且 具有形式[△Ai △∧i △Bi1]=GE[Hia Hid Hib].其中，G，Hia，Hid，Hib为适当维数的实矩阵，E为未知的时变矩阵，且满足ETE≤I.

这里假设不确定非线性项fi满足 ，i=1，2，…，s.

其中

取性能指标函数：

（2）

其中S>0，R>0为加权矩阵.

采用输出反馈u=Ky（t），则相应的闭环系统为：

其中

性能指标函数为：

i=1，2，…，s （4）

引理1：对于任意适当维数的向量x，y和实值矩阵D，E，对于任意适当维数的矩阵F，如果F满足FTF≤I，那么以下不等式成立 这里ε>0是任意常数。

引理2：若 是对称矩阵，那么以下三个条件等价

Ⅰ） W<0；Ⅱ） W1<0，W3-W2TW1-1W2<0；Ⅲ） W3<0，W1-W2W3-1W2T<0.

3 主要结果

定理：如果存在正定对称矩阵P和Q使得以下矩阵不等式组存在公共可行解K

i=1，2，…，s. （5）

那么通过静态输出反馈控制器u=Ky（t），对于所有允许的不确定性，闭环系统族满足

Ⅰ） 同时二次稳定；Ⅱ） 对于给定γi>0，假定初始条件x（0）=0，则||z（t）|| ∞<γi||ω（t）|| ∞，对于任意T>0及任意ωi（·）L2[0，T]成立，i=1，2，…，s ；Ⅲ） 代价函数（2）的闭环值满足Ji

证明： ω（t）=0时系统的二次稳定性

选取Lyapunov-Krasovskii泛函

i=1，2，…，s. （6）

其中P和Q是（5）式中的正定对称矩阵，显然V（0）=0并且Vi（φ）>0， φ≠0.

由于

由（5）式知i（x）|（1）<0，因此系统族同时二次稳定.

2）存在保代价J*使得Ji

由（5）式知

则有

因此

取 ，则J*为系统族的一个保代价.

3）系统的H∞性能

式（5）是一个非线性矩阵不等式，为了方便计算，我们将其进行以下操作，给出线性矩阵不等式的判别条件.

根据引理1，

其中

因此，矩阵不等式（5）成立的一个充分条件是以下线性矩阵不等式成立

4 结论

本文考虑了不确定非线性时滞系统的同时H∞保代价控制问题。通过解一组线性矩阵不等式，得到了公共反馈增益矩阵，以及系统族的一个公共Lyapunov-Krasovskii泛函。进而通过静态输出反馈，实现了系统族的同时H∞保代价控制。本文所研究的问题可以通过状态反馈来实现，也可以设计动态输出反馈控制器来达到与本文同样的目的。

参考文献：

[1]Saeks R， Murray J， Fractional representation， algebraic geometry and simultaneous stabilization problem [J].IEEE Trans. Automatic Control， Vol.27， No.5， 895-903， 1982

[2]Vidyasagar M. Viswanadham N. Algebraic design techniques for reliable stabilization [J]. IEEE Trans. Automatic Control. Vol.27， No.5， 1085-1095， 1982

[3]Saif A， Gu D， Kavranoglu D， el al. Simultaneous stabilization of MIMO systems via robustly stabilizaing a central plant [J]. IEEE Trans. Automatic Control， Vol.47， No.2， 363-369， 2002

[4]Miller D E， Rossi M. Simultaneous stabilization with near optimal LOR performance [J]. IEEE Trans. Automatic Control， Vol.46， No.10， 1543-1555， 2001

作者简介：

张佳玲，女，汉族，1990年出生于内蒙古赤峰市，目前为内蒙古师范大学在读硕士研究生。