在数学解题反思中提升学生解题能力

黄俊赟

【摘要】解题后反思，命题的意图是什么？考核的概念、知识和能力是什么？验证结论是否正确，命题的条件的应用是否完备？求解论证过程是否判断有据，严密完善？一题多解？多题一解？不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感.逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，感悟数学之美，提升解决数学问题的能力.

【关键词】反思;分析、归纳、概括;感悟;提高能力

一、积极反思，查缺补漏，确保解题的合理性和正确性

解数学题，有时由于审题不确，概念不清，忽视条件，套用相近知识，考虑不周或计算出错，难免产生这样或那样的错误，即学生解数学题，不能保证一次性正确和完善.所以解题后，必须对解题过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证.可是一些同学把完成作业当成是赶任务，解完题目万事大吉，头也不回，扬长而去.由此产生大量谬误，应该引起重视，加以克制，引以为戒.如：1.结论荒唐，引为笑柄（如sinθ=-2）;2.以特殊代替一般（如比较大小往往只取特值代入）;3.臆造"定理"，判断无据，以日常概念代替科学概念.以上常见的错误，不胜枚举.由此可见，解题反思的积极意义及其重要性，必须引起师生在教学中的足够重视.

二、积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力

数学知识有机联系纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径繁多，但最终却能殊途同归.即使一次性解题合理正确，也未必能保证一次性解题就是最佳思路，最优最简捷的解法.不能解完题就此罢手，如释重负.应该进一步反思，探求一题多解，多题一解的问题，开拓思路，勾通知识，掌握规律，权衡解法优劣，在更高层次更富有创造性地去学习、摸索、总结，使自己的解题能力更胜一筹.1.一题多解，每一种解法可能用到不同章节的知识，这样一来可以复习相关知识，掌握不同解法技巧，同时每一种解法又能解很多道题，然后比较众多解法中对这一道题哪一种最简捷，最合理？把本题的每一种解法和结论进一步推广，同时既可看到知识的内在联系、巧妙转化和灵活运用，又可梳理出推证恒等式的一般方法和思路：从左到右、从右到左、中间会师、转化条件等，善于总结，掌握规律，探求共性，再由共性指导我们去解决碰到的这类问题，便会迎刃而解，这对提高解题能力尤其重要.如三角函数中公式较多，化简求值方法就比较多，数列有其本身的定义，又是特殊的函数，解题也比较灵活.

三、积极反思、系统小结，使重要数学方法、公式、定理的应用规律条理化，在解题中应用自如、改进过程，寻找解题方法上的创新

在问题解决之后，要不断地反思：解题过程是否浪费了重要的信息，能否开辟新的解题通道？解题过程多走了哪些思维回路，思维、运算能否变得简捷？是否拘泥于思维定势，照搬了熟悉的解法？通过这样不断地质疑、不断改进，让解题过程更具有合理性、科学性、简捷性.

四、重视知识的迁移和应用，探究问题所含知识的系统性

解题之后，要不断地探究问题的知识结构和系统性.能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探究？能否加强知识的横向联系？把问题所蕴含孤立的知识“点”，扩展到系统的知识“面”.通过不断地拓展、联系、加强对知识结构的理解，进而形成认知结构中知识的系统性.在高考中，平面向量与三角函数经常综合考察，学生如果只能停留在孤立的向量知识点或是三角函数知识点的话，问题就难以解决.

例 设G是△ABC的重心，且有（56sinA）GA+（40sinB）GB+（35sinC）GC=0→，则角B的大小为

.

解析 由重心G满足GA+GB+GC=0→，知56sinA=40sinB=35sinC，利用正弦定理转化为边的比例关系，再用余弦定理，即可求出角B的大小为60°.

平面向量中的夹角是引起平面向量与三角函数交汇的主要因素，它把平面向量与三角函数有机地综合在一起，使问题得以充实与加强，能有效地考查学生解决问题的能力.

五、探究规律，形成小结

对每个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，有规律性的发现？能否形成独到的见解，有自己的小发明？点滴的发现，都能唤起学生的成就感，激发学生进一步探索问题的兴趣.长期的积累，更有利于促进学生认知结构的个性特征的形成，并增加知识的存储量.

总之，解题后引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对问题中所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，让学生体会解题带来的乐趣，享受探究带来的成就感.常此以往，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学，这是学好数学的必要条件.

【参考文献】

[1]罗增儒.数学解题学引论.西安：陕西师范师范出版社，2004.

[2]章建跃.理解数学 理解学生 理解教学[J].中国数学教育（高中版），2010，1.