“等比数列前n项和”教学设计与思考

张月红

[摘要]如何根据新课标要求进行教学设计，是每个教师课前思考的问题.以“等比数列前n项和”为一课例进行教学设计与思考.

[关键词]等比数列 前n项和 教学

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）080012

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（五）》（人教A版）第二章第五节第一课“2.5.1等比数列前n项和”（P55-58）.本节内容是由一个故事启发得出一般求等比数列前n项和的思路，它是基于等比数列的“等比”特性的一种特殊求和方法.在教学中，应着重引导学生观察、分析、归纳、猜想，使学生善于“发现规律——归纳规律——应用规律”.

二、教学目标

1.基础知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.

2.能力训练目标：（1）培养学生由特殊到一般的化归思想以及对式子变形的各种手段方法的应用能力，渗透方程思想、分类讨论思想，优化学生的思维品质；（2）通过探究与活动，让学生明白考虑问题要细致，说理要明确.

3.创新素质目标：发挥学生主体作用，让学生在探究活动中学会思考，自觉地把所学知识应用于实际问题.

三、教学重难点

重点：等比数列前n项和公式以及对公式的理解与运用.

难点：等比数列前n项和公式的推导.

四、教学过程

（一）创设情境，提出问题——激发求知欲

创设问题情境：有一穷人向富翁借钱，借钱方案如下：从第一天起借出1万，第二天借出2万，第三天借出3万……以此类推，每一天借的钱数都比前一天多一万，直到第30天，富人总共向穷人借出多少钱？穷人还钱方案如下：从借钱的第一天开始，穷人就开始向富翁还钱，第一天还1分，第二天还2分，第三天还4分，第四天还8分……以此类推，每一天还的钱数都是前一天的两倍，直到第30天.试问同学们，假设你依据这个方案向富翁借这笔钱，你们愿意吗？

学情预设：大多数学生可能算不出具体数目，只是凭直观判断表示“愿意”.

教师引导：愿不愿意借这笔钱，关键是看借钱和还钱的总和各是多少.

师生共同用计算器计算这个数，大家会发现这个数大得惊人，大于1073万元，穷人是无法满足富翁的要求的.

师：如果你们不假思索地答应，将会导致一个很不幸的后果发生，这都是不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.

此时学生跃跃欲试，纷纷想求出这个数列的前30项和，但因知识受限，无法一次求出，课题的引入水到渠成.

[设计意图]用一个看似简单的生活实例，不仅复习了等差数列的求和，而且为引出等比数列前n项和作准备；同时通过与等差数列的对比让学生感受等比数列的爆炸增长，激起学生学习新知识的兴趣和欲望.

（二）师生互动，探究新知——等比数列前n项和公式的推导

一般的，设等比数列{an}，公比为q，则它的前n项和是Sn=a1+a2+a3+…+an.

等比数列前n项和公式是求等比数列的前n项和的一个化简式，它的推导有很多方法，我们先研究教科书所采用的方法.

推导方法一：错位相减法

1.由问题情境中S30=1+2+22+23+…+229的求解我们很自然地由特殊到一般，可以先让学生思考一个特殊的简单情形，即

Sn=1+q+q2+q3+…+qn-1.①

教师引导：首先复习推导等差数列前n项和公式，形式上采用倒序相加法，本质上是根据等差数列的定义an+1-an=d，从“公差为d”这一特性出发，抓住倒序后两式中上下对应项的和均为“a1+an”这个特点，构造相同项，进而化繁为简，推得公式.

师：请同学们注意观察、联想，等比数列是不是也可以用倒序相加法求和？

（学生进行尝试，发现行不通）

在此情境下，教师引领学生透过现象看本质，类比等差数列前n项和公式求法.在等比数列前n项和中构造相同项，从而化繁为简是解决问题的关键.

师：等差数列求和是根据定义，由公差d切入.自然，等比数列求和同学们也应抓住定义，由公比q来探究.关注等比数列定义和①式，你们能发现什么？

（四）课堂小结

本节学习了如下内容：

1.等比数列前n项和公式及其推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”，这一方法是解决一类求和问题的重要基础和有力工具，要引起高度重视.

2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，选择适当的公式.

3.在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考，必要时要分类讨论.

4.体现的数学思想有：类比思想、分类讨论思想和方程思想.

（五）课后作业

基础题：课本P61习题2.5（A组）第1、2、3题.

提高题：求和（1+a）+（2+a2）+…+（2n-1+an）.

探究与发现：查阅网络，思考等比数列前n项和公式还有无其他推导方法？

五、教学反思

“结果因过程而精彩，现象因方法而生动.”无论是情境创设，还是探究设计，都必须以学生为主体、教师为主导、训练为主线，设法从庞杂的知识中引导学生去寻找关系，挖掘书本背后的数学思想，建构基于学生发展的知识体系，教学生学会思考，让教学真正成为发展学生能力的课堂活动.因此，本课在公式的推导中舍得花大量时间，便是为了让学生学会探究与创新.

（责任编辑 黄桂坚）