例谈高考概率解答题的常见类型

刘胜林

概率作为高中数学的一个重要组成部分，在高中数学教材中占有大量篇幅，然而它的存在似乎并没有引起一些师生的足够重视，大家总感觉这部分内容在高考中并不那么重要，或题目比较容易。概率题内涵丰富，其中许多概率解答题形式新颖、灵活，创意十足，即便是一些中档试题，如果对题意理解不透，对基本概念把握不准，对基础知识与基本技能掌握不牢，解题时也常常会出现错误。现以一些典型的高考题为例，谈谈高考概率解答题的常见类型，希望对同学们备战高考有一定的帮助。

类型一：概率与统计相结合

例1 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名。为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人。先统计他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]，分别加以统计，得到如图1所示的频率分布直方图。

（1）从样本中日平均生产件数不足60的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”中的工人的概率。

（2）规定日平均生产件数不少于80者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2X2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”。

附 。此公式也可以写

成 。

解析：（1）根据分层抽样的原则，可得：样本中属于“25周岁以上组”的工人有60名，属于“25周岁以下组”的工人有40名。

样本中日平均生产件数不足60的工人中，属于“25周岁以上组”的工人有60×0.05=3（名），记为A₁、A₂、A₃；属于“25周岁以下组”的工人有40×0.05=2（名），记为B₁、B₂。从中随机抽取2名工人，所有可能的结果是：（A₁，A₂）、（A₁，A₃）、（A₂，A₃）、（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、（A₂，B₁）、（A₂， B₂）、（A₃， B₁）、（A₃，B₂）、（B₁，B₂），共10种。其中，至少抽到1名“25周岁以下组”中的工人的可能结果是：（A₁，B₁）、（A₁，B₂）、（A₂， B₁）、（A₂， B₂）、（A₃， B₁）、（A₃， B₂）、（B₁，B₂），共7种。故所求概率为 。

（2）由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，属于“25周岁以上组”的生产能手有60×0.25=15（名），属于“25周岁以下组”的生产能手有40×0.375=15（名），据此可得列联表（如表1）。

因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”。

点评：本题将古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识有机地融为一体，全面考查考生对基础知识、基本方法、基本技能与基本数学思想的掌握情况，体现了高考能力立意的宗旨。

类型=：概率与程序框图相结合

例2 某算法的程序框图如图2所示，其中输入的变量z在1、2、3、…、24这24个整数中等可能随机产生。

（1）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率p_i（i=1、2、3）。

（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，记录了输出y的值为i（i=1、2、3）的频数。以下是甲、乙所作的频数统计表的部分数据（如表2和表3）。

当n=2100时，根据表中的数据，分步写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1、2、3）的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大。

（3）将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数￡的分布列及数学期望。

解析：（1）变量x是在1、2、3、…、24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能。

当x从1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23这12个数中产生时，输出y的值为1，则 ；当x从2、4、8、10、14、16、20、22这8个数中产生时，输出y的值为2，则 ；当x从6、12、18、24这4个数中产生时，输出y的值为3，则 。

（2）当n=2 100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i（i=1、2、3）的频率如表4所示。

比较频率与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大。

（3）由题意可知： ，则

点评：本题将概率与程序框图巧妙地结合在一起，形式新颖，打破了概率试题以往惯有的模式，体现了学科知识间的交叉性、综合性与实用性，很好地考查了考生理解、分析与解决问题的能力，具有较强的甄别功能。

类型三：概率与向量相结合

例3 小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队。游戏规则为：以0为起点，再从A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇、A₈（如图3）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X，若x=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队。

（1）求小波参加学校合唱团的概率。

（2）求X的分布列和数学期望。

解析：（1）从8个点中任取两点，共有 （种）方法。

X=O时，两向量的夹角为直角，共有8种情形。

故小波参加学校合唱团的概率为 。

（2）两向量的数量积X的所有可能取值为-2、-1、O、1。

X=-2时，有2种情形；X=l时，有8种情形；X=-1时，有10种情形。X的分布列如表6所示。

点评：本题将“向量”镶嵌在“概率”试题中，创新味儿十足，属于能力立意的好题，主要考查平面向量的数量积、离散型随机变量的分布列与数学期望等相关知识，其中合理利用平面向量的数量积的两种表示来分析是解决该题的关键，也是难点。

类型四：概率与线性规划相结合

例4 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N （800，50²）的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为Po。

（1）求Po的值。（参考数据：若 ，有

（2）某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次。A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地到乙地的营运成本分别为l600元/辆和2400元/辆。公司拟组建一个不超过21辆的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆。若每天要以不小于Po的概率运完甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

解析：（1）由随机变量X服从正态分布N（800，502），得μ=800，σ=50，则 P（700

由正态分布的对称性，可得 。

（2）设A型、B型车的数量分别为x、y，则相应的营运成本为x=1600x+2400y。

由题意得x、y还需满足：x+y≤21，y≤x+7，P（X≤36x+60y）≥P₀。

由（1）知P₀=P（X≤900），则P（X≤36x+60y）≥P₀等价于36x+60y≥900，故原问题等价于求满足约束条件且使目标函数z=1600x+2400y达到最小的x、y。

作出可行域（如图4）。

可行域的三个顶点分别为P（5，12）、Q（7，14）、R（15，6）。由图可知：当直线z=1600x+2400y经过可行域内的点P时，直线z-1600x+2400y在y轴上的截距 最小，即z取得最小值，故应配备A型车5辆、B型车12辆。

点评：本题将概率与线性规划融为一体，让试题焕然一新，韵味几十足，主要考查正态分布、简单线性规划等基础知识，同时考查考生的运算求解能力和逻辑推理能力，还考查数形结合、转化与化归的数学思想，对考生综合分析、解决问题的能力提出了一定的要求，体现了高考试题的选拔功能。

高考试题是命题专家依“纲”靠“本”精心设计的典型题，它不仅浓缩了教材中重要的基础知识、基本技能，还蕴含了丰富的数学思想和思维方法，能折射出高考命题的基本走向和考查的深度和广度。通过上述相关高考试题的设置，我们领悟到以下两点。

（1）加强对概率、统计、框图、向量、线性规划、函数等数学基础知识、基本技能和方法的学习和掌握，这是顺利解答概率解答题的基础与前提。只有将基础知识、基本技能与基本数学思想、方法弄透、弄熟，解题时才能做到游刃有余。

（2）强化概率与其他知识点的综合应用，这体现了学科知识间的交叉性与综合性。由上述高考试题的呈现可以发现：概率常常会与向量、统计、框图、线性规划等相关数学知识交叉综合，因此，在日常的学习中，应多研究“考题”（特别是高考试题及各地模拟考试题），通过研究“考题”，体会命题的理念，感受考查的意图，洞查高考的要求，明晰学习的方向，进而对概率解答题中的一些常见问题、常见类型进行有效的训练，以拓宽视野，强化能力，提高数学素养。