分类讨论思想的应用

于江洪

分类讨论思想是常用的思想方法，是重要的数学思想，是一种逻辑方法。在解决数学问题时，通过正确的分类，可以使复杂问题得到清晰、完整、严密的解答，它体现了化整为零、积零为整的思想和归类整理的方法。分类的原则是：（1）分类对象的确定，标准要统一；（2）不重复、不遗漏；（3）分层次，不越级讨论。分类的步骤是：（1）确定讨论对象和全域；（2）科学分类；（3）逐步讨论；（4）归纳小结，整合得出的结论。现根据引起分类讨论的要素阐述分类讨论思想的应用。

一、由定理，公式的条件引起的分类讨论

有的概念本身是分类的，如绝对值、直线的斜率、指数函数、对数函数；有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论是不一样的，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等。

侧，函数f（x）=a^x-a^-x（a>0且n≠1）是定义在R上的奇函数。若 且 在 上的最小值为-2，求实数m的值。

解析：由 ，得 ，即 ，解得 （舍去）或a=2。

令 ，则

在R上单调递增。

由x≥l，得 。

若 ，则当t-m时，h（t）取得最小值-2，即 ，故m=2。

若 ，则当 时，h（t）取得最小值-2，即 ，应舍去。

综上所述，m=2。

二.由参数变化引起的分类讨论

某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式问题，由于参数的取值范围的不同会导致所得的结果不同，或对于不同的参数要运用不同的求解或证明方法。

侧2设函数 ，其中ab≠o，试讨论函数f（x）的极值的情况。

解析：f（z）的定义域为 ，

（1）当ab>0时，如果a>0，b>0，则f'（x）>0，故f（x）在 上单调递增；如果a<0，b<0，则f'（x）<0，故f（x）在 上单调递减。故当ab>0时，函数f（x）无极值。

（2）当 ab

①当a>0、b<0时，f（x）、f'（x）随x的变化情况如表1所示。

由表1可以看出：函数f（x）有且只有一个极小值点，极小值为 。

②当a<0、b>0时，f（x）、f'（x）随x的变化情况如表2所示。

由表2可以看出：函数，（x）有且只有一个极大值点，极大值为 。

综上所述，当ab>0时，函数f（x）没有极值；当a>O、b<0时，函数f（x）只有一个极小值，为 ；当a0时，函数f（x）只有一个极大值，为 。

三，由数学的运算要求引起的分类讨论

有些数学运算有一定的要求，如除法运算中除数不为0，偶次方根为非负数，对数中的真数与底数的要求，指数中的底数的要求等，解题时要进行分类讨论。

例3 集合M={b|3-|x-l|-b+l=0有实数解）， 在 上单调递增）。设 ，且定义在R上的奇函数 在D内没有最小值，则m的取值范围是

。 解析：M={b|l

由 是定义在R上的奇函数，得

，则 ，故

（1）若m≤0，易得函数f （x）在D内单调递减，则函数f（x）在右端点 处取得最小值，不合题意。

（2）若m>0，令 ，则 在D内没有最小值可转化为h（x）在D内没有最大值。下面对h（x）在D内的最大值进行研究。 。令h'（x）>o，可得 令h'（x）

①当 ，即 时，函数h（x）在D内单调递减，不存在最大值，符合题意。

②当 ，即m≤1时，函数h（z）在D内单调递增，存在最大值 ，不符合题意。

③当 ，即 时，函数h（x）在（）上单调递减，在 上单调递增，必须有 成立，才能满足函数h（x）在D内没有最大值。由 ，得 ，解 得 。

综上所述，m的取值范围是 。

四.由图形的不确定引起的分类讨论

例4 设函数 。

（1）当a=2、b=3时，画出函数f（x）的图像，并求出函数f（x）的零点。

（2）设b=-2，且对任意x∈[-1，1]，f（x）

解析：（1）当a=2、b=3时，函数f（x）=（x-2）.|x|+3的解析式可化为： 。函数f（x）的图像如图1所示。当x≥O时，由f（x）=0，得X²-2x+3=0，此时方程f（x）=0无实根。

当x<0时，由f（x）=0，得X²-2x-3=O，解得x=3（舍去）或x=-1。

当a=2、b=3时，函数f（x）的零点为x=-1。

（2）当b=-2时，由f（x）<0，得（x-a）|x|<2。

当x=0时，a取任意实数，不等式（x-a）|x|<2恒成立。

当O-1。

当-1≤x<0时，不等式（x-a）|x|<2可化为 。令 。易得h（x）在[-1，0）上单调递减，则h（x）在[-1，0）上的最大值为h（-1）=-3，故a> -3。

综上所述，a>-1。