概率与统计解答题集锦

王志

1.改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村2005年到2014年十年间每年考入大学的人数。为方便计算，2005年编号为1，2006年编号为2，…，2014年编号为10。数据如表1所示。

（1）从这10年中随机抽取两年，求考人大学的人至少有1年多于15人的概率。

（2）根据前5年的数据，利用最小二乘法求出 关于x的回归方程y=bx+a，并计算第8年的估计值和实际值之间的差的绝对值。

2.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：g），质量的分组区间为（490，495]、（495，500]、…、（510，515]。由此得到样本的频率分布直方图（如图1）。

（1）根据频率分布直方图，求质量超过505 g的产品的数量。

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设￡为质量超过505g的产品的数量，求￡的分布列。

（3）从流水线上任取5件产品，估计其中恰有2件产品的质量超过505g的概率。

3.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50人进行了问卷调查，得到如表2所示的列联表。已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 。

（1）请将表2补充完整。

（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。

（3）已知喜爱打篮球的10位女生中，A₁、A₂、A₃还喜欢打羽毛球，B₁、B₂、B₃还喜欢打乒乓球，C₁、C₂还喜欢踢足球。现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的8名女生中各选出1名进行其他方面的调查，求B₁和C₁不全被选中的概率。

下面的临界值表（表3）供参考。

4.某大学高等数学科老师在大一上学期分别采用了A、B两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验（两个班人数均为60，入学时数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）。现随机抽取甲、乙两班各20名同学的大一上学期高等数学期末考试成绩，得到茎叶图（如图2）。

（1）依据茎叶图判断哪个班的平均分高。

（2）从乙班这20名同学中随机抽取2名高等数学成绩不低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽中的概率。

（3）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表（如表4），能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？

下面的临界值表（同表3，此处略）供参考。

参考公式： ，其中n=a+b+c+d。

（4）从乙班高等数学成绩不低于85分的同学中抽取2人，成绩不低于90分的同学得奖金100元，否则得奖金50元，记￡为这2人所得的总奖金，求￡的分布列和数学期望。

5.某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分。初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰。已知选手甲答对每道题的概率相同，并且相互之间没有影响，答题连续两次答错的概率为 。

（1）求选手甲可进入决赛的概率。

（2）设选手甲在初赛中答题的数量为￡，试求￡的分布列，并求￡的数学期望。

6.某单位实行休年假制度已经三年，现对50名职工休年假的次数进行调查统计，得到的结果如表5所示.

根据表中的信息解答以下问题。

（1）从该单位任选两名职工，用叩表示这两人休年假的次数之和，记“函数厂（x）=x²-ηx-1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率。

（2）从该单位任选两名职工，用￡表示这两人休年假的次数之差的绝对值，求随机变量￡的分布列及数学期望E￡。

7.设不等式X²+y²≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V。

（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率。

（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V内的个数为X，求X的分布列和数学期望。

8.已知函数 ，其中实数a、b是常数。

（1）已知a∈{O，1，2），b∈{O，1，2），求事件A“f（l）≥0”的概率。

（2）若f（x）是定义在R上的奇函数，g（a）是f（x）在区间[-1，1]上的最小值，求当|a|≥1时g（a）的解析式。

1.（1）设事件A表示“考入大学的人至少有1年多于15人”，则 。

（2）由已知数据得：x=3，y=8，∑xⁱyⁱ=3+10+24+44+65=146， ，则 ，故回归方程为y=2.6x+0.2。

第8年的估计值和真实值之间的差的绝对值为12.6×8+0.2-221=1。

2.（1）质量超过505g的产品的数量是40×（0.05×5+0.01×5）=12。

c2）￡所有可能的取值为0、1、2。

。

￡的分布列如表6所示。

（3）抽取的40件产品中有12件产品的质量超过505g，其频率为 ，可见从流水线上任取1件产品，其质量超过505g的概率为0.3。

设η表示任取的5件产品中质量超过505 g的产品的数量，则η～B（5，0.3），故所求的概率为 。

3.（1）完整的列联表如表7所示。7.879，则有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关。

（3）从10位女生中选出喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各1名，其一切可能的结果组成的基本事件的总数为 。

用M表示事件“B₁、C₁不全被选中”，则其对立事件M表示“B₁、C₁全被选中”。事件M由3个基本事件组成，则 .故

4.（1）甲班高等数学成绩集中于60～90分，乙班高等数学成绩集中于80～100分之间，可以大致看出乙班的平均分高。

（2）所求概率为 。

（3）完整的列联表如表8所示。

因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关。 （4）

￡的分布列如表9所示。

。

5.设选手甲任答一题正确的概率为p。由题意得 。

（1）选手甲选答3道题目后进入决赛的概率为 ，选答4道、5道题目后进人决赛的概率分别为 ，则选手甲可进入决赛的概率为 。

（2）￡所有可能的取值为3、4、5。

由题意得 ￡的分布列如表10所示。

6.（1）函数 过点（0，-1），若函数f（x）在区间（4，6）上有且只有一个零点，则 ：解得 ，故

“η=4”与“η=5”为互斥事件，则所求概率为

（2） 所有可能的取值为0、1、2、3。 的分布列如表11所示。

7.（1）平面区域U内的整点为（0，O）、（0，±1）、（o，±2）、（±1，0）、（±2，0）、（±1，1）、（±1，-1），共13个。

平面区域V内的整点为（O，O）、（O，±1）、（±1，0），共5个。

所求概率为 。

（2）平面区域U的面积为 ，平面区域V的面积为 。

在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为 。

X所有可能的取值为0、1、2、3。X的分布列如表12所示。

8.（1）当a∈{0，1，2）、6∈{0，1，2）时，基本事件（a，6）共有9个：（O，O）、（O，1）、（O，2）、（1，O）、（1，1）、（1，2）、（2，O）、（2，1）、（2，2）.

事件 包含6个基本事件：（0，O）、（0，1）、（O，2）、（1，1）、（1，2）、（2，2）.

故 。

（2）由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（O）=0 b=0，则 。

。

①当a≥1时，由-1≤x≤1，得f'（x）≤0，则f（x）在区间[-1，1]上单调递减，故

②当a≤-1时，由-1≤x≤1，得f'（x）>0，则f（x）在区间[-1，1]上单调递增，故 。