求函数值域的八种常用方法

王晓洁

摘 要：函数的值域函数的重要性质之一，也是学习中的难点之一，求函数的值域，在知识上，除涉及函数的所有知识外，还需要二次函数、不等式等其他重要知识点;在解题方法上，具有较强的综合性，求函数值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，选择正确简洁的求值方法对于求函数值域的相关知识会有很大的巩固和提高。

关键词：函数值域  解答  方式方法

中图分类号：G634         文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0241-02

求函数值域是一个比较复杂的问题，不同的函数解析式要用不同的方法，下面举例说明几种常见的求函数值域的方法。

1 配方法

例1：求函数y=2x2-6x+3的值域。

解：y=2（x-3）2-≥-

函数X的值域为[-，

2 判别式法

对于某些有理数分式函数，y=f（x）（分子或分母最高次数为2），可把函数的解析式化为关于x的一元二次方程，再根据判别式△≥0得到一个关于y的不等式。解此不等式就可求得函数的值域。

例2：求的值域。

解：原方程可化为（y-1）x2+2（y+1）+3（y-1）=0

当y时，≥

解得

当y=1时，x=0属于定义域

函数的值域为

3 非负数法

当函数的解析式中出现绝对值、偶次方幂、算数根或指数幂时，常根据他们的非负数这一性质确定函数的值域。

例3：求函数的值域。

解：原方程可化为

视为关于x的方程化为

所以函数的值域为。

4 分部分式法

当函数的解析式y=f（x）是分式且分子的次数大于或等于分母的次数时，可分部分式求函数的值域。

例4：求函数的值域。

解：

因为且，

所以，

故该函数的值域为[

5 换元法

对于某些特殊的函数y=f（x），可利用设辅助未知数的方法求得其值域。

例5：求函数的值域。

解：令）

所以（当且仅当t=1时取等号）

故原函数的值域为。

6 函数的单调性法

对于某些单调函数可根据函数的单调性求函数的值域。

例6：求函数的值域。

解：设

因为

当时，t有最小值;

又因为是增函数

所以当≥;

故原函数的值域为。

7 反函数法

因为原函数的值域正好是它的定义域，所以要求原函数的域可以转换为先求其反函数再求其定义域，即得原函数的。

例7：求函数的值域。

解：求得的反函数为，

其定義域为;

故所求函数的值域为;

8 数形结合法

例8：求函数的值域

解：原函数化为

将此函数化为分段函数的形式

通过图像可知

故所求函数的值域为≥

以后通过学习不等式和三角函数求函数的值域还可以用不和利用有界性法。

参考文献

[1] 如何求函数值域[J].云南教育：基础教育版，1980（9）：35-36.

[2] 黄桂香.求函数值域的常用方法[J].中学课程辅导·教学研究，2012（30）：113-114.

[3] 周云.求函数值域的方法归纳[J].考试周刊，2009（18）：47-48.