利用二次函数巧解生活中的实际问题

宋春梅

【摘 要】利用二次函数的性质解决实际问题是历年中考的重点。解决这类问题时，通常先要建立变量之间的二次函数解析式，再利用二次函数的相关性质求解。

【关键词】二次函数；实际问题；最大（小）值

应用数学思想来解决生活中的实际问题是学习数学的目的所在，而建立适当的数学模型来解决实际问题是生活中常用的手段。在现实生活中，我们往往会遇到一些复杂的实际问题，而这些实际问题所涉及的背景材料十分广泛，包括社会、人文、科技、生活、生产等方面，有时很难抓住要领，不易直接用函数知识去观察、分析、概括所给的实际问题。若将其转化为数学问题并建立数学模型，则问题就容易解决了。

在函数中二次函数是解决实际问题的一个重要数学模型，利用二次函数的图像和性质求函数的最大（小）值。此类题是各地中考的重难点，并经常作为压轴题出现。在生活中我们经常会遇到利用二次函数求最大值或最小值的问题，例如下面的问题：

例1.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型产品在第x天销售的相关信息如下表所示。

销售量p（件） P=50-x

销售单价q（元/件） 当1≤x≤20时，q=30+；

当21≤x≤40时，q=20+

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式。

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

分析：这是一道分段求函数的最大值的问题，学生在解题时往往考虑不全，把21≤x≤40这段函数的问题遗漏，只求1≤x≤20这段函数的问题及最大值。所以在教学时，教师一定要强调自变量的取值范围及分段后的函数的增减性。

解：（1）当1≤x≤20时，令30+=35，得x=10.

当21≤x≤40时，令20+=35，得x=35.

即第10天或第35天该商品的销售单价为35元/件

（2）当1≤x≤20时，y=（30+-20）（50-x）=-2+15x+500；

当21≤x≤40时，y=（20+-20）（50-x）=-525.

所以

当1≤x≤20时，

因为，所以当x=15时，y有最大值y1，且y1=612.5

当21≤x≤40时，因为26250>0

所以随着x的增大而减小，所以当x=21时，最大。

于是，当x=21时，y=-525有最大值y2，且y2=-525=725

因为y1

所以这40天中第21天时该网店获得的利润最大，最大利润为725元。

例2.某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆汽车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆汽车的日租金每增加50元，为租出的汽车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆汽车时，日收益为y元。（日收益=日租金收入-平均各日各项支出）

（1）公司每日租出x辆汽车时，每辆汽车的日租金为______元（用含x的代数式表示）

（2） 当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益最大？最大是多少？

（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

分析：（1）未租出的汽车有（20-x）辆，每辆汽车的日租金在400元的基础上增加了50（20-x）元，所以每辆汽车的日租金为400+50（20-x）=（1400-50x）元

（2）根据日收益=日租金收入-平均每日各项支出，建立二次函数模型求解。

（3）日收益不盈也不亏即日收益为0，建立方程求解

解：（1）（1400-50x）

（2）y=x（-50x+1400）-4800

=-50x2+1400x-4800

=-50（x-14）2+5000

当x=14时，在0≤x≤20范围内，y有最大值5000。

所以当每日租出14辆时，租赁公司的日收益最大，最大值为5000元

（3）要使租赁公司日收益不盈也不亏，即y=0。

所以-50（x-14）2+5000=0解得x1=24，x2=4。

因为x=24不合题意，舍去。

所以当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏。

例3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱，

（1）求平均每天销售量y（箱）与售价x（元/箱）之间的函数解析式；

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与售价x（元/箱）之间的函数解析式

（3）当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润为多少？

分析：（1）在每箱50元的基础上销售，当售价为x元时，则每箱提价（x-50）元；（2）利润=（售价-进价）×箱数

解：（1）y=90-3（x-50），即y=-3x+240（50≤x≤55）

（2）w=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600.（50≤x≤55）

（3）W=3x2+360x-9600

因为a<0，所以抛物线开口向下，当x==60时，w有最大值，又x<60，w随x的增大而增大，所以当x=55时，w有最大值为1125

所以当每箱苹果售价为55元时，可以获得1125元的最大利润。

注意：求最大值时，要注意自变量的取值范围及自变量的实际意义。

解答这类应用题的基本方法是设法把关于最大（小）值的实际问题转化为二次函数的最大（小）值问题，然后按求二次函数的最大（小）值的方法求解，其基本思路是：

（1）理解问题的题意；

（2）分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

（3）用数学方法表示它们之间的关系，用二次函数解析式表示实际问题中常量与变量之间的关系；

（4）将得到的二次函数通过配方化为y=a（x-h）?+k的形式，求出顶点坐标得出最大值或最小值；

（5）检验结果的合理性，判断是否符合实际要求。