“弦图”巧解题

岑妙

【摘 要】充分运用“弦图”解题，发挥几何图形形象直观、简洁、明快、构图优美等特有的功能，提高学生机智、敏捷、创造性地思考、分析和解决问题的能力，增强对数学学习的兴趣。

【关键词】基本图形；弦图；解题

在学习空间与图形的过程中，我们经常会发现有一些图形对解决相关的问题起着重要的作用。基本的图形所呈现的数学语言具有确定性、简洁性及抽象性等特点，具有其它语言不可替代的优越性。它们不仅跟文字一样具有记录作用，有利于形象记忆，也有思想交流的功能。丰富的表象，往往有助于我们清楚地分析题中的数量关系，起到化繁为简、化难为易的良好效果，给我们解题提供一种有效思路。

2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会徽就是我国古代数学家赵爽画的“弦图”。图中包含的四个全等的直角三角形，一大一小两正方形，我们曾借助正方形边长与直角三角形三边的关系来证明勾股定理。作为学生十分熟悉的基本图形，在解决许多习题时，却往往被忽视它的作用，不少几何题直接运用条件去推导往往比较复杂，若将图形进行适当的拼补，构造成一幅美丽而巧妙的“弦图”，其解答就在图中直接或间接地显示出来了。

下面我们就通过几个案例来看看“弦图”是如何发挥巧妙的作用的。

【案例一】——“以形助数”：

如图，一直角三角形的面积为6平方米，两条直角边的差为1米，问：直角三角形的斜边长多少米？

设两未知数列出一个二元二次方程组，是大部分学生会采取的方法，这样的解法思路是比较简单，但解方程的过程中运算量还是较大的。这里我们若用上“弦图”，“以形助数”，斜边就能很快地被求出来。构造“弦图”后，直角三角形被补成一个大正方形，而大正方形的边长显然就是这个直角三角形斜边的长，只要求出该大正方形的面积，所求的问题也就迎刃而解了。通过观察，我们可以发现拼成的“弦图”中间部分恰好是一个小正方形，这个小正方形的边长正好是一直角三角形两条直角边之差，所以大正方形的面积为四个直角三角形的面积加上小正方形的面积，即S=6×4+1=25平方米，所以大正方形边长为5米，即直角三角形的斜边就是5米。与之前的列方程组相比较，这种构图法既直观又简单，深得学生的喜欢。

【案例二】——“巧设坐标”：

如图，正方形的A1B1P1P2的顶点P1、P2在反比例函数（x>0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形A2B2P2P3，顶点P3在反比例函数（x>0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为 。

这是2011年宁波市中考卷填空题的最后一题，虽似曾相识，但又焕然一新，体现了数形结合的思想，重点考查了学生的数学综合能力。把反比例函数与正方形的知识相结合，借助看似平实简洁的问题设置，却凸显了数学思想方法在解题时的重要作用，学生必须牢固掌握数学的基础知识，并且在不同的环境中能够灵活地加以运用。此题首先考查应用反比例函数和正方形都关于直线y=x的轴对称性得出P2坐标为（2，1），接下来我们对正方形A2B2P2P3作出“弦图”的分割，如右图，设较长直角边为a，则通过观察就能得出P3的坐标，可表示为（2+a，a），然后把P3的纵横坐标代入反比例函数解析式即可求出a的值，继而求出P3的坐标。此题正是应用了“弦图”的结构特征，把原本倾斜的正方形边长通过分割使之“改斜归正”，继而可以比较轻松的把线段的长度转化为点的坐标。

【案例三】——“巧求边长”：

如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果那么AC的长等于 。

此题图形关系较复杂，而要把线段AB、AO转接成线段AC，对学生来说还是有点困难的。通过观察，要是能够发现∠ABO=∠OCG的话，在AC上取一点G使CG=AB=4，连接OG，利用△OGC≌△OAB和等腰直角三角形的相关知识还是能解决此题的。可是这种证明思路对学生来讲很难想到，往往一开始就“见题生畏”了，不过心中若有“弦图”，根据图形特征把“弦图”补全，就会有意想不到的效果。这里的AH就是小正方形的边长，而AO=，所以AH长度为12，又根据“弦图”特征，AB=HC=4，所以AC的长等于12+4=16。本题补形后的“弦图”不仅图形对称完美，而且对于此题的证明思路显得更加清晰，证法更加简洁直观，使我们再次领会到“弦图”的魅力和丰富的数学内涵。

【案例四】——“面积问题”：

在直线l上摆放着三个正方形。

（1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a，b。斜着放置的正方形的面积S= ，两个直角三角形的面积和为 ；（均用a，b表示）

（2）如图2，小正方形面积S1=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积m1和m2，并给出图中四个三角形的面积关系；

（3）图3是由五个正方形所搭成的平面图，T与S分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T与S的关系式，并利用（1）和（2）的结论说明理由。

此题选自2011年中考复习考试大纲的一道练习，对于第（2）小题的说理，事实上很多同学一开始找不到问题的切入口。我们可以把中间这个正方形作出“弦图”的分割，直角三角形的长直角边记为h，短直角边记为n，显然利用四个全等的直角三角形能理出四个三角形之间的面积关系：m1=a×h=m3，m2=a×h=m4。

【案例五】——“拼图设计”：

如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2=52。

a，b的值可以是 （写出一组即可）；

②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：

此题选自2009年天津市中考题，作为填空最后一题，旨在考查了学生分析、解决问题的能力，考查学生对“弦图”的再认识及应用。一般性的裁剪方法再次利用了“弦图”的特征，裁剪线及拼接方法如右图所示，我们先把正方形ABCD划分出“弦图”结构，将图中的△DCF绕D逆时针旋转90°至△DAG，即△DCF≌△DAG，DF=DG，说明了四边形DFIG是正方形；同理将△CEB绕B逆时针旋转90°至△AHB，即△CEB≌△AHB，BE=BH，进而说明四边形EBHI是正方形。

其实能用“弦图”解决的数学题目还有很多，这些习题大凡有一个共性，涉及直角三角形或正方形，这时候我们选择补全“弦图”能更清楚地看到图中的数量关系、位置关系。充分运用“弦图”的特征解题，发挥几何图形的形象直观、简洁、明快、构图优美等特有的功能，能提高学生机智、敏捷、创造性地思考、分析和解决问题的能力，增强对数学学习的兴趣。事实上，数学基本图形众多，“弦图”只是其中一个，不同的基本图形有不同的性质，呈现的是不同的数学语言，体现的是各自特有的图形功能。在数学解题教学中，从已知条件的数字特征、代数式的特点及特定的数量关系等角度去充分挖掘它们所具有的几何意义，引导学生借助数学基本图形的形象性、直观性来解题，不仅有助于激发学生的学习兴趣，提高学生的解题效率，而且对发展学生的数学思维能力、培养学生的创新意识也具有重要的现实意义。

参考文献：

[1]何军.浅谈图形语言在解题中的应用.数学通报.2008，（7）