激活生长因子：从播种“符号”到收获“模型”

【摘要】符号意识和模型思想是数学课程的两个核心概念，它们之间有着重要的关联，部分模型思想必须建立在学生有一定符号意识的基础上才能顺利形成。在小学数学教学中，系统性地培养好学生的符号意识有助于学生习得模型思想，两者的共同发展将为学生的终身学习、可持续发展奠定基础。

【关键词】符号意识;模型思想;生长因子;代数

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A【文章编号】1005-6009（2015）09-0033-03

【作者简介】蒋碧云，江苏省宜兴市实验小学（江苏宜兴，214200）教导处副主任，一级教师，无锡市教学能手。

学期末，教师需对卷面作详细的总结和反思。六年级的数学教师一致认为整张试卷中这道填空题错误率最高，题目如下：用4个棱长都是a厘米的小正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积可能是（ ）平方厘米，也可能是（ ）平方厘米。学生的错误可以分为三类：（1）18和16或者18a和16a;（2）只填对一种;（3）一个都没填对。其中第一种错误居然最多，约占错误人数的42%，这部分学生会用正确的思路解决这道题，却不会用正确的方法来表示。大家都觉得不可思议，因为用含有字母的式子表示长方体或正方体相关结果的题型已经练习过很多次了。还有教师提出：用字母表示数量之间的关系时，学生屡做屡错，让人痛心！遇到稍复杂的问题解决时主动运用方程的学生不多，有的甚至还会列出（70+86）÷=x这样的方程。

问题逐渐明朗，原因可以归纳为两类：一是学生的符号意识薄弱;二是学生没有真正掌握未知数参与列式的思维方式，潜意识里的算术思维根深蒂固。数学家罗素说：“什么是数学？数学就是符号加逻辑。”那么，如何在学生的数学世界中播下“符号”这颗至关重要的“种子”，并让这颗“种子”在我们的精心培育下生根、发芽、开花直至结果呢？笔者展开了一系列的探索和实践……

一、启动“文字语言”，唤醒“符号语言”的萌芽

数学的基本语言是文字语言、符号语言和图像语言，文字语言是符号语言的基础，低年级学生的思维活动在很大程度上还是与具体事物或其生动的表象联系着的。因此，在教学时，要让学生在理解的基础上用自己的语言表述，在表述的过程中加深理解，哪怕是用不规范的语言甚至是杂乱无章的语言。

1.呵护“童言童语”，发掘教材中的“代数雏形”。

教学苏教版一下“100以内的加法和减法（一）”单元时，教材中多次出现比较两个算式结果的题型。

如：不计算，在○里填上“>”“<”或“=”。

4+75○75+4 58-4○58-40 82-50○72-40

3+66○30+66 69-6○96-6 75-30○57-30

不计算直接填答案，这对一年级的学生来说要求比较高，却能为启蒙学生的代数思维做好铺垫，教师教学时不妨按照要求让学生独立思考后先填一填，教学重点则放在生生和师生的交流上。

两道加法题蕴含着两个代数雏形：一是“a+b=b+a”;二是“当b>c，则a+b>a+c”或“当bc，则a-b

教师首先要激发学生对数学符号产生需求感，又要让学生对数学符号的抽象性、简洁性有所领悟，并能通过观察、归纳发现符号还具有一定的模型性。这种逐步展开的学习，会使学生对符号的意义和价值获得更多的体验和感悟，让学生自觉地走进符号化的数学世界。

三、充盈“表示范畴”，感受“数学模型”的魅力

数学符号的学习必须经历“感性—理性—运用”的过程。在问题解决的过程中，引导学生自觉地运用数学符号，灵活地、富有创造性地使用数学符号，是实现符号意识优化的有效途径。在平时的教学中，应该有意识地为学生提供用符号的机会，逐步充盈符号表示的范畴，让学生感受“数学模型”的魅力。

1.抓住契机，催生“数量”到“数量关系”的思维。

教学苏教版四下《确定位置》时，教师可准备一些有挑战性的题目或游戏。

如：“找宝物”游戏，请根据老师提供的条件，来找宝物的位置，但要用所学数对的知识来猜宝物的位置。

（1）（3，x） （2）（y，3） （3）（x，y） （4）x+y=5

通过条件（1）和条件（2），学生进一步了解字母可以表示一定范围内的任何数，具有一般性的特征。这时就需要教师做出适当的引导，让学生的思维进行一次飞跃。出示条件（3），学生发现这里的x和y可以表示任何数，那么每个格子中都可能有宝物，于是要求教师提供一个范围，随即出示条件（4），这时学生纷纷抢着找宝物并总结：列数+行数=5。

通过一个循序渐进的小游戏，教师及时抓住学生思考过程中产生的疑问，给学生提供了一个二元一次代数式，从用符号表示“数”到表示“数量关系”，使学生的思维得到了质的飞跃。

2.以“不变”应“万变”，激起“归纳”到“模型”的需求。

代数中的函数思想以一种状态确定地刻画另一种状态，其中变化的是“过程”，不变的是“规律”（关系）。教学中，教师要引导学生去发现规律，并能将规律用含有字母的式子概括出来，以“不变”应“万变”，激起学生由“归纳”走向“模型”的需求。

如：一张长方形桌子可以坐8人（如图1），两张桌子拼起来可以坐12人（如图2），n张桌子可以坐多少人？

如果只让学生算人数，学生都能通过画图来解决，但用字母表示结果让大多数学生望而却步，教师不妨根据学生能达到的高度来逐步设计教学。

（1）观察图1和图2，随着桌子的增加，哪里的人数在变？哪里的人数没有变？

（2）坐在长边上的人数是怎样变化的呢？

（3）可以怎么表示总人数呢？

根据学生的回答填好上表。

学生在观察、比较、逐步归纳的过程中，提炼出了数与符号间的数量关系，以“不变”的数量关系来表示“变化”的“过程”，从而让数学模型思想自然得到运用。

四、提升“符号精髓”，收获“自主建模”的硕果

方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。如果学生已经具备了一定的符号意识，那么还要让学生充分地体会方程的优势，沟通不同解法的区别和联系，提炼列方程解决实际问题的思考方法，自主构建用方程解决问题的模型。

1.寻找关系，自主建模。

现实世界中的许多数量关系都可以归结为一种特别的“式”的相等关系。苏教版六上“百分数”单元中有很多解决生活实际问题的内容，且六年级的学生已经掌握了等量关系，那么重点就要让学生体会方程的优势，并能主动列方程解决问题。笔者改编了书上的一些习题，生成了意想不到的效果：把纳税、利息和折扣练习中题目的条件和问题互换，使其变成单位“1”未知的题型，如根据税率和营业税求营业额、根据利率和利息求本金、根据折扣和现价求原价等，并形成了一系列对比练习。学生学习了相关内容后，对于这些现实中的数量关系驾轻就熟，很自然地就能想到用方程来解答。

2.把握关联，感悟优势。

从数学角度来看，算术思维是程序性的，侧重于通过计算数量来求答案。而代数思维是结构性的，侧重于关系的符号化及其运算。当学生运用代数思维受到局限时不妨用算术思维来帮助学生思考。如：教学苏教版六下《比例尺的应用》，用倍数和份数的关系求实际距离学生比较容易掌握，但用方程来解答，学生很难想到，引导后依然不会列方程，究其原因，是学生找不到等量关系。不妨问学生：根据比例尺的意义，明华小学到少年宫的图上距离和实际距离的比一定等于哪个比？生：1∶8000。师追问：你能根据这个等量关系列出一个含有x的比例吗？这样，既沟通了整个单元知识间的联系，又引领学生把未知数与已知数一起参与列式，使他们逐步体会将实际问题“符号化”的优越性，进而发展代数思维。

在数学课堂上，如果我们能通过播种“符号”激活符号生长过程的各种因子，带动模型思想的生成，也许能收获意想不到的硕果。

【参考文献】

[1]杨九诠，李铁安.义务教育课程标准案例式解读[M].北京：教育科学出版社，2011.

[2]史炳星，马云鹏.在解决问题的过程中发展学生的符号感[J]数学教育学报，2001（2）：57—60.

[3]王光明，范文贵.新版课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

注：本文获2014年江苏省“教海探航”征文竞赛二等奖，有删改。