浅析概率论的一些妙用

黄绍东

【摘 要】本文利用概率论的相关知识，或建立适当的概率模型，或根据概率论的一些性质和定理，或利用概率中性质比较好的分布，解决了一些数学在其他学科上的一些问题，如等式的证明、不等式的证明、一些广义积分的计算。把概率论的知识和其他数学分支联系起来，从而拓宽了解题思路，另外也从一个侧面反映了学习概率的重要性。

【关键词】概率模型；等式；不等式；正态分布；广义积分

一、构造概率模型证明恒等式

等式“A=B”的证明，一般方法是“A→B”，“B→A”，“A→C，B→C”三种代数类型，而运用概率论的相关知识，构造适当的概率模型可以较方便地解决看似较难的恒等式的证明，具体的方法是将恒等式经过简单的变形，与一定的概率模型的概率值或期望值相联系，构造概率模型，这样就可以由所构造的概率模型来证明这些等式了，现举例如下：

例1：证明等式

证明：可利用巴纳赫问题来证。设某人带有两盒火柴，每盒火柴有n根，每次取用时，在两盒中任抓一盒，从中抽取一根。设从第一盒中选取为“成功”，从第二盒中选取为“失败”，这种连续的抽取就构成了一串p=1/2的伯努利实验，因为只能选择这两盒火柴，要么第一盒，要么第二盒，也就是要么“成功”，要么“失败”。这时，“当发现第一盒火柴空了，第二盒火柴还有r根”这一事件等价于“从2n-r根火柴中抽取了n个成功”。该事件构成了二项分布b（n；2n-r，1/2）。记“当发现第一盒火柴空了，第二盒还有r根”这一事件为Ar，那么Ar的概率就是因为r取0到n的各事件Ar之并为必然事件，所以，两边同乘以2n，即令n-r=k，则r从0到n，k从n到0，于是，有 ，即 。

二、利用概率知识证明不等式

有些不等式的证明看上去毫无头绪，但如果仔细观察，有些不等式和概率论中的一些知识是有关联的，通过进一步的分析也许就可以用概率论的知识来证明这些不等式。主要会用到概率论中的一些不等式或定理，有些不等式的证明需要构造一个概率密度函数，再利用概率中有关不等式的性质来加以证明。现分别说明如下：

（1）利用马尔科夫不等式，柯西施瓦兹不等式，切比雪夫不等式证明。现给出这些不等式，马尔科夫不等式：设ξ是定义在概率空间（Ω，F，P）上的随机变量，f（x）是[0，∞）上非负单调不减函数，则对于任意x>0，有，柯西施瓦兹不等式：设Ci为常数，ξi为随机变量，且则，切比雪夫不等式：若随机变量ξ的方差D（ξ）存在，则对任意ε>0，有。

（2）利用以下这个定理证明一类不等式。

定理：设ξ为（Ω，F，P）上的随机变量，若f（x）为定义在某区间I上的连续的下凸函数，则有f（Eξ）≤Ef（ξ）；若f（x）未定义在某区间I上连续的上凸函数，则有f（Eξ）≥Ef（ξ）（该定理参见[3]）。

（3）通过构造密度函数，运用期望以及一些概率性质来证明一类不等式。

三、利用正态分布计算一类无穷积分

概率论中的正态分布是一个十分重要的分布，应用非常广泛。正态分布的密度函数、期望、方差都可以用积分来表示，大多数情况下是无穷区间广义积分。而反过来，某些收敛的无穷积分就可以利用正态分布的相关概念方便的计算出来。

1.利用正态分布的概率密度计算无穷积分

正态分布的概率密度定义：若随机变量ξ的密度函数由式给出，其中u，δ为已知参数，则称ξ服从正态分布，简称ξ服从正态N（u，δ），记做ξ～N（u，δ2）。概率密度具有规范性，即利用此式就可以计算形如的积分，其中a，b为常数，b>0.

例2：计算广义积分

① ②

分析：这两个积分用通常数学分析的方法是很难求的这时仔细观察一下就可以发现可以把被积函数看成是两个随机变量的概率密度①可以看做随机变量ξ～N（2，2），②可以看做随机变量ξ～N（0，1），然后将被积函数变形后利用概率密度函数的性质计算该积分。

解：

①

②令

2.利用正态分布的期望定义计算无穷积分

随机变量的期望定义：设ξ为随机变量，其分布函数为则记并称E（ξ）为ξ的数学期望。当ξ为连续型随机变量时，。对于正态分布ξ～N（u，δ2），可以证明Eξ=u，既有：利用这个式子可以较方便地计算型积分，其中a，b为常数，b>0. 这类广义积分一般利用换元法比较麻烦，而把被积函数看做服从某正态分布的随机变量的期望表达式，则很容易求解。

参考文献：

[1]魏宗舒等.概率论与数理统计教程.高等教育出版社，2002.

[2]周概容.概率论与数理统计.高等教育出版社，1987.

[3]陈纪修.数学分析.高等教育出版社，2000.

[4]陈陵.概率方法与恒等式的证明.重庆工贸学院学报，2008年第1期，29-30.