高考对数学能力考查例说

孙文双

考试大纲明确指出：数学学科的考试遵循“考查基础知识的同时，注重考查能力”“以能力立意命题”. 这是近几年来高考数学题遵循的原则与命题指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测同学们的数学素养. 考查同学们对数学基本能力的应用意识和创新意识，对数学本质的理解. 体现《课程标准》中对知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等目标的要求.能力主要指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识.本文选取几个加以说明.

数据处理能力

数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题.统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据，逐渐成为一个必备常识. 统计的教学具有重要的地位，新课标高考对统计知识的考查力度得到加强.

数据处理能力考查主要表现在： （1）在概率统计中命制试题，它是把有关数据处理与概率统计题综合在一起，其侧重点在概率统计的有关知识.具体表现在抽样方法、统计图表、用样本估计总体等.（2）在线性回归分析中命制试题，具体表现在求回归方程并由此解决其他有关问题，其侧重点在最小二乘估计. 此类试题有较复杂的运算过程，同时考查运算能力.

例1 （2014年高考山东卷）乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分，如图1所示，甲上有两个不相交的区域[A，B]，乙被划分为两个不相交的区域[C，D].某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在[C]上记3分，在[D]上记1分，其他情况记0分.对落点在[A]上的来球，队员小明回球的落点在[C]上的概率为[12]，在[D]上的概率为[13]；对落点在[B]上的来球，小明回球的落点在[C]上的概率为[15]，在[D]上的概率为[35].假设共有两次来球且落在[A，B]上各一次，小明的两次回球互不影响.求：

（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；

（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.

图1

解析 （1）记[Ai]为事件“小明对落点在[A]上的来球回球的得分为[i]分”（[i]=0，1，3），

则[P（A3）=12]，[P（A1）=13]，[P（A0）=1-12]-[13]=[16].

记[Bi]为事件“小明对落点在[B]上的来球回球的得分为[i]分”（[i]=0，1，3），

则[P（B3）=15]，[P（B1）=35]，[P（B0）=1-15]-[35]=[15].

记[D]为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.

由题意知，[D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3]，由事件的独立性和互斥性得，

[P（D）=P（A3B0+A1B0+A0B1+A0B3）]

[=P（A3B0）+P（A1B0）+P（A0B1）+P（A0B3）]

[=P（A3）P（B0）+P（A1）P（B0）+P（A0）·P（B1）+P（A0）P（B3）]

=[12]×[15]+[13]×[15]+[16]×[35]+[16]×[15]=[310].

所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为[310].

（2）由题意知，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6.

由事件的独立性和互斥性得，

[P（ξ=0）=P（A0B0）=][16]×[15]=[130]，

[P（ξ=1）=P（A1B0+A0B1）=P（A1B0）+P（A0B1）]

=[13]×[15]+[16]×[35]=[16]，

[P（ξ=2）=P（A1B1）=13]×[35]=[15]，

[P（ξ=3）=P（A3B0+A0B3）=P（A3B0）+P（A0B3）]

=[12]×[15]+[16]×[15]=[215]，

[P（ξ=4）=P（A3B1+A1B3）=P（A3B1）+P（A1B3）]

=[12]×[35]+[13]×[15]=[1130]，

[P（ξ=6）=P（A3B3）=12]×[15]=[110].

可得随机变量[ξ]的分布列为：

[[ξ]＼&0＼&1＼&2＼&3＼&4＼&6＼&[P]＼&[130]＼&[16]＼&[15]＼&[215]＼&[1130]＼&[110]＼&]

所以数学期望[Eξ=0×130]+1×[16]+2×[15]+3×[215]+4×[1130]+6×[110]=[9130].

应用意识

纵观近几年高考试题，高考命题在“用”中必考，问题的设计多与函数、方程、数列、不等式、三角函数、解析几何、立体几何等知识联系. 考查贴近生活、有社会意义和时代意义的应用题，立意考查“大众”数学应用题是高考命题的一个趋势，也是高考的一个热点问题. 在应用题中主要考查阅读能力、应用能力和探究能力，关注当前国内外的政治、经济、文化，紧扣时代的主旋律，凸现了学科综合的特色，是高考命题的一道亮丽风景线，其解题的关键在于构建适当的数学模型.

例2 （2014年高考江苏卷）如图2，为了保护河上古桥[OA]，规划建一座新桥[BC]，同时设立一个圆形保护区. 规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处（OC为河岸），[tan∠BCO=43].求新桥BC的长？

[北][东]

图2 图3

解析 法1：（两角差的正切）如图3，连结[AC]，由题意知，[tan∠ACO=617]，则由两角差的正切公式可得，

[tan∠ACB=tan（∠BCO-∠ACO）=23.]

故[BC=AC?cos∠ACB=150m].

答：新桥[BC]的长度为[150]m.

法2：由题意可知，[A（0，60），B（170，0）]. 由 [tan∠BCO=43]可知直线[BC]的斜率[k=-43]，则直线[BC]所在直线的方程为[y=-43（x-170）]. 又由[AB⊥BC]可知，[AB]所在的直线方程为[y=34x+60]；联立方程组[y=-43（x-170），y=34x+60，]解得[x=80，y=120].

即点[B（80，120）]，则[BC=（80-170）2+1202=150].

答：新桥[BC]的长度为[150]m.

点拨 从考试角度来说，应用题主要考查两个方面的能力：建立数学模型的能力（简称“建模”能力）、解决数学模型的能力（简称“解模”能力）. 从应试方法上如何突破呢？首先要系统研究所有可能出现的应用题并做到能对症下药，常考查的应用题类型有：函数应用题（以分式函数为载体的函数应用题、以分段函数为载体的函数应用题、以二次函数为载体的函数应用题）、三角测量应用题（以三角函数的定义为载体的三角应用题、以三角函数的图象为载体的三角应用题、以解三角形为载体的三角应用题、以立体几何为载体的三角应用题、以追击问题为载体的三角应用题）、数列应用题、线性规划应用题、解析几何应用题.

创新意识

对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查，要求考生不仅能理解一些概念、定义，掌握一些定理、公式，更重要的是能够应用这些知识和方法解决数学和现实生活中的比较新颖的问题.回顾近年来的高考数学试题，不难发现：关注探究创新意识，考查数学理性思维，已成为高考命题的一种趋势.在高考试题中常常通过创设一些比较新颖的问题情境，构造一些具有一定深度和广度、能体现数学素养的问题，着重考查数学主体内容.题型主要有：（1）条件探究型，（2）结论开放型，（3）条件和结论都发散型，（4）信息迁移型，（5）存在型，（6）解题策略开放型.

例3 （2014年高考重庆卷）设[a1=1]，[an+1]=[a2n-2an+2+b（n∈N*）].

（1）若[b=1]，求[a2，a3]及数列[{an}]的通项公式；

（2）若[b=-1]，问：是否存在实数[c]使得[a2n解析 （1）法一：[a2=2]，[a3=2]+1.

再由题设条件知，（[an+1]-1）2=（[an]-1）2+1.

从而{（[an]-1）2}是首项为0，公差为1的等差数列，

故（[an]-1）2=[n]-1，即[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

法二：[a2=2]，[a3=2]+1.

改写为[a1=1-1]+1，[a2]=[2-1]+1，[a3]=[3-1]+1.因此猜想[an]=[n-1]+1.

下面用数学归纳法证明上式.

当[n=1]时，结论显然成立.

假设[n=k]时结论成立，即[ak=k-1]+1，

则[ak+1=（ak-1）2+1]+1=[（k+1）-1]+1.

这就是说，当[n=k+1]时结论成立.

所以[an]=[n-1]+1（[n∈N*]）.

（2）法一：设[f（x）=（x-1）2+1]-1，则[an+1=f（an）].

令[c=f（c）]，即[c=（c-1）2+1]-1，解得[c=14].

下面用数学归纳法证明命题[a2n